|
 8ª
CLASE
Grado de asimetría
9ª
CLASE
Coeficiente de curtosis
10ª
CLASE
Distribuciones
bidimesionales
11ª
CLASE
Distribuciones marginales
|
|
|
|
LECCION 7ª
Medidas de forma: Grado de concentración
Las medidas de forma
permiten conocer que forma tiene la curva que representa
la serie de datos de la muestra. En concreto, podemos estudiar las
siguientes características de la curva:
a) Concentración: mide si los valores de la variable
están más o menos uniformemente repartidos a lo largo
de la muestra.
b) Asimetría: mide si la curva tiene una forma simétrica,
es decir, si respecto al centro de la misma (centro de simetría)
los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son similares.
c) Curtosis: mide si los valores de la distribución
están más o menos concentrados alrededor de los valores
medios de la muestra.
a) Concentración
Para medir el nivel de concentración de una distribucón
de frecuencia se pueden utilizar distintos indicadores, entre ellos
el Indice de Gini.
Este índice se calcula aplicando la siguiente fórmula:
| IG
= |
S
(pi - qi)
|
|
----------------------------
|
| S
pi |
|
(i
toma valores entre 1 y n-1)
|
En donde pi
mide el pocentaje de individuos de la muestra que presentan
un valor igual o inferior al de xi.
| pi
= |
n1
+ n2 + n3
+ ... + ni
|
|
|
----------------------------
|
x
100
|
|
n
|
|
Mientras que qi
se calcula aplicando la siguiente fórmula:
| qi
= |
(X1*n1)
+ (X2*n2)
+ ... + (Xi*ni)
|
|
|
-----------------------------------------------------
|
x
100
|
|
(X1*n1)
+ (X2*n2)
+ ... + (Xn*nn)
|
|
El Indice Gini (IG) puede tomar valores entre 0 y 1:
IG = 0 : concentración
mínima. La muestra está unifomemente repartida a lo
largo de todo su rango.
IG = 1 : concentración máxima.
Un sólo valor de la muestra acumula el 100% de los resultados.
Ejemplo: vamos a calcular el
Indice Gini de una serie de datos con los sueldos de los empleados
de una empresa (millones pesetas).
|
Sueldos
|
Empleados
(Frecuencias absolutas)
|
Frecuencias
relativas
|
|
(Millones)
|
Simple
|
Acumulada
|
Simple
|
Acumulada
|
| x |
x |
x |
x |
x |
|
3,5
|
10
|
10
|
25,0%
|
25,0%
|
|
4,5
|
12
|
22
|
30,0%
|
55,0%
|
|
6,0
|
8
|
30
|
20,0%
|
75,0%
|
|
8,0
|
5
|
35
|
12,5%
|
87,5%
|
|
10,0
|
3
|
38
|
7,5%
|
95,0%
|
|
15,0
|
1
|
39
|
2,5%
|
97,5%
|
|
20,0
|
1
|
40
|
2,5%
|
100,0%
|
Calculamos los valores que necesitamos para aplicar la fórmula
del Indice de Gini:
|
Xi
|
ni
|
S
ni
|
pi
|
Xi
* ni
|
S
Xi * ni
|
qi
|
pi
- qi
|
| x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
3,5
|
10
|
10
|
25,0
|
35,0
|
35,0
|
13,6
|
10,83
|
|
4,5
|
12
|
22
|
55,0
|
54,0
|
89,0
|
34,6
|
18,97
|
|
6,0
|
8
|
30
|
75,0
|
48,0
|
147,0
|
57,2
|
19,53
|
|
8,0
|
5
|
35
|
87,5
|
40,0
|
187,0
|
72,8
|
15,84
|
|
10,0
|
3
|
38
|
95,0
|
30,0
|
217,0
|
84,4
|
11,19
|
|
15,0
|
1
|
39
|
97,5
|
15,0
|
232,0
|
90,3
|
7,62
|
|
25,0
|
1
|
40
|
100,0
|
25,0
|
257,0
|
100,0
|
0
|
| x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
S
pi (entre
1 y n-1) =
|
435,0
|
x
|
S
(pi - qi)
(entre 1 y n-1 ) =
|
83,99
|
Por lo tanto:
|
IG = 83,99
/ 435,0 = 0,19
|
Un Indice Gini de 0,19 indica que la muestra está bastante
uniformemente repartida, es decir, su nivel de concentración
no es excesivamente alto.
Ejemplo: Ahora vamos a analizar
nuevamente la muestra anterior, pero considerando que hay más
personal de la empresa que cobra el sueldo máximo, lo que conlleva
mayor concentración de renta en unas pocas personas.
|
Sueldos
|
Empleados
(Frecuencias absolutas)
|
Frecuencias
relativas
|
|
(Millones)
|
Simple
|
Acumulada
|
Simple
|
Acumulada
|
| x |
x |
x |
x |
x |
|
3,5
|
10
|
10
|
25,0%
|
25,0%
|
|
4,5
|
10
|
20
|
25,0%
|
50,0%
|
|
6,0
|
8
|
28
|
20,0%
|
70,0%
|
|
8,0
|
5
|
33
|
12,5%
|
82,5%
|
|
10,0
|
3
|
36
|
7,5%
|
90,0%
|
|
15,0
|
0
|
36
|
0,0%
|
90,0%
|
|
20,0
|
4
|
40
|
10,0%
|
100,0%
|
En este caso obtendríamos los siguientes datos:
|
Xi
|
ni
|
S
ni
|
pi
|
Xi
* ni
|
S
Xi * ni
|
qi
|
pi
- qi
|
| x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
3,5
|
10
|
10
|
25,0
|
35
|
35
|
11,7
|
13,26
|
|
4,5
|
10
|
20
|
50,0
|
45
|
80
|
26,8
|
23,15
|
|
6,0
|
8
|
28
|
70,0
|
48
|
128
|
43,0
|
27,05
|
|
8,0
|
5
|
33
|
82,5
|
40
|
168
|
56,4
|
26,12
|
|
10,0
|
3
|
36
|
90,0
|
30
|
198
|
66,4
|
23,56
|
|
15,0
|
0
|
36
|
90,0
|
0
|
198
|
66,4
|
23,56
|
|
25,0
|
4
|
40
|
100,0
|
100
|
298
|
100,0
|
0,00
|
| x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
S
pi (entre
1 y n-1) =
|
407,5
|
x
|
S
(pi - qi)
(entre 1 y n-1 ) =
|
136,69
|
El Indice Gini sería:
|
IG = 136,69
/ 407,5 = 0,34
|
El Indice Gini se ha elevado considerablemente, reflejando la mayor
concentración de rentas que hemos comentado.
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