LECCION 36ª
Distribuciones continuas: Normal
(III): Ejercicios
Ejercicio
1º: La renta media de los habitantes de un país
es de 4 millones de ptas/año, con una varianza de 1,5. Se supone
que se distribuye según una distribución normal. Calcular:
a) Porcentaje de
la población con una renta inferior a 3 millones de ptas.
b) Renta a partir
de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores
ingresos.
c) Ingresos mínimo
y máximo que engloba al 60% de la población con renta
media.
a)
Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones
de ptas.
Lo primero que tenemos
que hacer es calcular la normal tipificada:
(*) Recordemos
que el denominador es la desviación típica ( raíz
cuadrada de la varianza)
El valor de Y equivalente
a 3 millones de ptas es -0,816.
P
(X < 3) = P (Y < -0,816)
Ahora tenemos que
ver cuál es la probabilidad acumulada hasta ese valor. Tenemos
un problema: la tabla de probabilidades (ver lección 35) sólo
abarca valores positivos, no obstante, este problema tiene fácil
solución, ya que la distribución normal es simétrica
respecto al valor medio.
Por lo tanto:
P
(Y < -0,816) = P (Y > 0,816)
Por otra parte, la
probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100%) menos
la probabilidad acumulada hasta dicho valor:
P
(Y > 0,816) = 1 - P (Y < 0,816) = 1 - 0,7925 (aprox.) = 0,2075
Luego, el 20,75%
de la población tiene una renta inferior a 3 millones ptas.
b)
Nivel de ingresos a partir del cual se sitúa el 10% de la población
con renta más elevada.
Vemos en la tabla
el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es
el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el
10% superior.
Ese valor corresponde
a Y = 1,282 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente
a ese valor de la normal tipificada:
Despejando X, su
valor es 5,57. Por lo tanto, aquellas personas con ingresos superiores
a 5,57 millones de ptas. constituyen el 10% de la población
con renta más elevada.
c)
Nivel de ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de
la población con renta media
Vemos en la tabla
el valor de la variable normalizada Y cuya probabilidad acumulada
es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada
es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor de Y hay
un 30% de probabilidad.
Por otra parte, al
ser la distribución normal simétrica, entre -Y y la
media hay otro 30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Y,
Y) engloba al 60% de población con renta media.
El valor de Y que
acumula el 80% de la probabilidad es 0,842 (aprox.), por lo que el
segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los
valores de la variable X correspondientes a estos valores de Y.
Los valores de X
son 2,97 y 5,03. Por lo tanto, las personas con ingresos superiores
a 2,97 millones de ptas. e inferiores a 5,03 millones de ptas. constituyen
el 60% de la población con un nivel medio de renta.
Ejercicio
2º: La vida media de los habitantes de un país
es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en
una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:
a) ¿Cuántas
personas superarán previsiblemente los 75 años?
b) ¿Cuántos
vivirán menos de 60 años?
a)
Personas que vivirán (previsiblemente) más de 75 años
Calculamos el valor
de la normal tipificada equivalente a 75 años
Por lo tanto
P
(X > 75) = (Y > 1,4) = 1 - P (Y < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808
Luego, el 8,08% de
la población (808 habitantes) vivirán más de
75 años.
b)
Personas que vivirán (previsiblemente) menos de 60 años
Calculamos el valor
de la normal tipificada equivalente a 60 años
Por lo tanto
P
(X < 60) = (Y < -1,6) = P (Y > 1,6) = 1 - P (Y < 1,6)
= 0,0548
Luego, el 5,48% de
la población (548 habitantes) no llegarán probablemente
a esta edad.
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