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 17ª
CLASE
Probabilidad de sucesos
18ª
CLASE
Combinaciones, Variaciones y Permutaciones (I)
19ª
CLASE
Combinaciones, Variaciones y Permutaciones (II)
20ª
CLASE
Combinaciones, Variaciones y Permutaciones (III)
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LECCION 16ª
Cálculo de probabilidades
Probabilidad
Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad
mide la mayor o menor posibilidad de que se
dé un determinado resultado (suceso)
cuando se realiza un experimento aleatorio.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o
expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso imposible:
lanzamos un dado al aire y la probabilidad
de que salga el número 7 es cero (al
menos, si es un dado certificado por la OMD,
"Organización Mundial de Dados").
El valor uno corresponde al suceso seguro:
lanzamos un dado al aire y la probabilidad
de que salga cualquier número del 1
al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades
entre cero y uno: que será tanto
mayor cuanto más probable sea que dicho
suceso tenga lugar.
¿Cómo se mide la probabilidad?
Uno de los métodos más utilizados
es aplicando la Regla de Laplace: define
la probabilidad de un suceso como el cociente
entre casos favorables y casos posibles.
P(A)
= Casos favorables / casos posibles
Veamos algunos ejemplos:
a) Probabilidad
de que al lanzar un dado salga el número
2: el caso favorable es tan sólo
uno (que salga el dos), mientras que los
casos posibles son seis (puede salir cualquier
número del uno al seis). Por lo tanto:
P(A)
= 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)
b) Probabilidad
de que al lanzar un dado salga un número
par: en este caso los casos favorables
son tres (que salga el dos, el cuatro o
el seis), mientras que los casos posibles
siguen siendo seis. Por lo tanto:
P(A)
= 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
c) Probabilidad
de que al lanzar un dado salga un número
menor que 5: en este caso tenemos cuatro
casos favorables (que salga el uno, el dos,
el tres o el cuatro), frente a los seis
casos posibles. Por lo tanto:
P(A)
= 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
d)
Probabilidad de que nos toque el "Gordo"
de Navidad: tan sólo un caso
favorable, el número que jugamos
(¡qué triste...¡), frente
a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:
P(A)
= 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo
mismo, 0,001%)
Merece la pena ...... Por
cierto, tiene la misma probabilidad el número
45.264, que el número 00001, pero
¿cuál de los dos comprarías?
Para poder aplicar la Regla de Laplace
el experimento aleatorio tiene que cumplir
dos requisitos:
a) El número de resultados posibles
(sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera
infinitos resultados, al aplicar la regla
"casos favorables / casos posibles"
el cociente siempre sería cero.
b) Todos los sucesos tienen que tener
la misma probabilidad. Si al lanzar
un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad
de salir que otras, no podríamos
aplicar esta regla.
A la regla de Laplace también se le
denomina "probabilidad a priori",
ya que para aplicarla hay que conocer antes
de realizar el experimento cuales son los
posibles resultados y saber que todos tienen
las mismas probabilidades.
¿Y si el experimento
aleatorio no cumple los dos requisitos
indicados, qué hacemos?,
¿ponemos una denuncia?
No, no va a ser necesario denunciar a nadie,
ya que en este caso podemos acudir a otro
modelo de cálculo de probabilidades
que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):
Cuando se realiza un experimento aleatorio
un número muy elevado de veces, las
probabilidades de los diversos posibles
sucesos empiezan a converger hacia valores
determinados, que son sus respectivas probabilidades.
Ejemplo:
si lanzo una vez una moneda al aire y sale
"cara", quiere decir que el suceso
"cara" ha aparecido el 100% de
las veces y el suceso "cruz" el
0%.
Si lanzo diez veces la moneda al aire,
es posible que el suceso "cara"
salga 7 veces y el suceso "cruz"
las 3 restantes. En este caso, la probabilidad
del suceso "cara" ya no sería
del 100%, sino que se habría reducido
al 70%.
Si repito este experimento un número
elevado de veces, lo normal es que las probabilidades
de los sucesos "cara" y "cruz"
se vayan aproximando al 50% cada una. Este
50% será la probabilidad de estos
sucesos según el modelo frecuentista.
En este modelo ya no será necesario
que el número de soluciones sea finito,
ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.
Ejemplo:
si la moneda que utilizamos en el ejemplo
anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada),
es posible que al repetir dicho experimento
un número elevado de veces, la "cara"
saliera con una frecuencia, por ejemplo, del
65% y la "cruz" del 35%. Estos valores
serían las probabilidades de estos
dos sucesos según el modelo frecuentista.
A esta definición de la probabilidad
se le denomina probabilidad a posteriori,
ya que tan sólo repitiendo un experimento
un número elevado de veces podremos
saber cual es la probabilidad de cada suceso.
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