La máquina de Atwood

El matemático inglés George Atwood (siglo XVIII) inventó una máquina que consta de una polea ideal (no se tiene en cuenta su masa), de dos masas de distintos pesos que cuelgan de los extremos de una cuerda que ayuda el cálculo de la fuerza de atracción de la Tierra entre otras utilidades de laboratorio.

 

En la figura siguiente tienes una polea por donde pasa una cuerda de cuyos extremos cuelgan dos masas m1 y m2.

 

 

dinámica 4

 

 

En un primer momento a la polea la tenemos sujeta. Mientras se encuentre de este modo, la Tensión (T) es la misma en toda la cuerda.


En el momento de dejarla libre este sistema adquiere una aceleración en el sentido de la masa mayor (m2).

 

¿Qué fuerzas actúan sobre la masa m2?


1: La Tensión de la cuerda hacia arriba


2: Peso de la masa (m2.g) hacia abajo

 

Si m2 desciende significa que su peso es mayor que la Tensión.


La diferencia entre su peso y la Tensión es:

 


m2 . g – T   (I)

 

 

¿Cuánto vale esta diferencia?


Observamos que hay una aceleración, llamémosla a, de la masa que desciende que es m2 que nos permite escribir (I):

 


m2 . g – T = m2 . a

 

Esta igualdad la podemos escribir haciendo transposición de términos y sacando factor común:

 


 

 

¿Qué fuerzas actúan sobre la masa m1?


1: La fuerza de Tensión (T) de la cuerda hacia arriba
2: Su peso hacia abajo.

 

Observamos que esta masa asciende lo que quiere decir que la Tensión es mayor que su peso y su diferencia la escribimos:

 


 


Se produce una aceleración en la masa m1 hacia arriba igual a la que se originó en el descenso de la masa m2, es decir, a.

 

Es por esto por lo que aparece en la figura última la aceleración en color rojo en sentido ascendente y descendente.

 

La diferencia en la llamada (II) la escribimos:

 

 


Hacemos transposición de términos y sacando factor común llegamos a:

 

 


Hemos llegado a que la Tensión en el sistema que estamos estudiando podemos representarla en cualquiera de las dos formas:
                     

 

            

 

 

2.196   De los extremos de la cuerda de la figura siguiente cuelgan dos pesos de 10 y 20 kg.


Calcula: 1) La Tensión; 2) La aceleración del sistema.
  

 


 

 

Respuestas:

1) a = 3,27 m/s2

2) 130,6 N


Solución


Hacemos uso del contenido del recuadro último:


 


Sustituimos valores que conocemos:


 


Siendo m2 = 20 kg y m1 = 10 kg


Haciendo operaciones y transposición de términos obtenemos:



El valor de T lo obtenemos de:


 

2.197  Observa la figura:

 


                      

 


y calcula las tensiones T1 y T2.

 

Respuesta:  25 y 43,30 kg respectivamente


Solución


Es importante que te fijes bien en la figura donde hemos esquematizado el contenido del problema.

 


 

 

 

Hemos emplazado dentro de un eje de coordenadas.


Esto nos permite trasladar los vectores  a los lugares

que nos convengan mientras respetemos sus direcciones y sentidos.

 

De este modo conseguimos de un modo muy sencillo descomponer el vector correspondiente al Peso (fuerza) en sus componentes:

 



 

 

2.198  Tienes a continuación un cuadro muy interesante colgado  de una pared (sería conveniente te fijaras bien y te respondieras qué ves en el mismo: cilindros, paralelogramos, ¿cuántos?…):

 

 

 

 

Vemos que la cuerda a ambos lados del punto de donde cuelga forma un ángulo de 35º con la horizontal.


Con los datos expuestos calcula la tensión T.

 

Respuesta: 85,42 N cada uno de los valores de T

 


Solución

 


Dibujamos un sencillo esquema: 

 


   
                                               

 

 

 

La cuerda está soportando un peso de 10kg.

 


Hallamos los valores de las componentes de T en ambos casos.

 

Las componentes horizontales son opuestas. Fíjate el sentido del coseno del ángulo de 35º de la derecha, es negativo.

 


Las componentes verticales son iguales lo mismo que sus tensiones (T).

 

Componentes de la T de la cuerda de la izquierda:

 

 

 

Componentes de la T de la cuerda de la derecha:

 


 

Todo este sistema de fuerzas y tensiones que actúan sobre el objeto de 10 kg se resume en:

 


Dos fuerzas de Tensión iguales: 2T hacia arriba

 


Una fuerza (Peso del objeto): 10 kg hacia abajo

 

La suma de Fuerzas hacia arriba menos las que actúan hacia abajo valen 0 ya que el cuadro está en equilibrio o reposo.


Según lo que acabamos de indicar podemos escribir:

 


 

Hacemos operaciones:

 


 

2.199  Calcula las tensiones T1 y T2 que ves en la siguiente figura:

 


 

 

 

Respuesta: 73,53 y 91 N respectivamente


Solución


Dibujamos un esquema que sea lo más sencillo posible:

 

 

 

 

Como el sistema se halla en equilibrio, la suma de todas las

fuerzas que actúan en el eje x tendrá que valer:

 


¿Cuáles son esas fuerzas? 


La primera es negativa porque su sentido señala a la izquierda del origen de coordenadas.

 

Vemos que:
                               


Por lo que:
                  

 

¿Qué fuerzas actúan en el eje de ordenadas?

 


                                  

 


Los dos primeros sumandos indican sentido hacia arriba y el peso su sentido será descendente.

 


Haciendo uso de la Trigonometría tenemos:

 


 


De donde:

 

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (I) y (II)

 


 


 


El valor de T2 es:

 


 

 

2.200   Después que hayas observado detenidamente el sistema siguiente calcula la a (aceleración) del mismo:

 

 

 

 

Se supone que no hay rozamientos y los pesos se refieren a
kg-masa.


Puedes aplicar la fórmula:

 


Respuesta: 1,63 m/s2

 


Solución

 


Si observamos la figura, encontramos una sola fuerza actuando en todo el sistema y que se refiere al peso de la masa de 6kg colgando de la cuerda.

 


El peso de la masa de 30kg se contrarresta con la fuerza con que la mesa actúa hacia arriba (la Normal).

 


En el caso de las Tensiones podemos prescindir de ellas al aplicar esta fórmula (podemos considerar que se contrarrestan también).

 


Aplicando:

 


 


En este tipo de problemas aparecen con frecuencia dos aceleraciones g(9,8 m/s2) la que ejerce la Tierra y a la que se origina al resolver el sistema.

 

 

2.201   Calcula la aceleración del sistema de la siguiente figura:

 

 

 

 

Respuesta: 4,9m/s2

 


Solución

 


Aplicamos la fórmula y sustituyendo valores obtenemos:

 


 

 

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