Momento de inercia de una esfera respecto a su dentro de masa

Demostración de su fórmula:

 

2.177  Calcula el momento de Inercia de una esfera de radio R y masa M respecto al centro de masas IO.

 

Respuesta:dinámica 4

 


Solución

 


En primer lugar hacemos una figura que represente a una esfera en un eje de coordenadas tridimensional:

 

 

dinámica 4

 

 

Tomamos como partida el cálculo del momento de Inercia de una esfera respecto a su centro de masas O.

 


Como siempre, partimos de  dinámica 4

 


Sabemos que el volumen de una esfera es dinámica 4

 


Aprovechando que tienes una cebolla en casa estudiémosla:

 


dinámica 4

 


Si la cortamos perpendicularmente a su eje (luego la aprovechas para hacer una buena tortilla de patatas) puedes hallar fácilmente su Radio y por lo tanto su Volumen.

 


Comprobarás sus envolturas, corazas o capas esféricas.

 


La Superficie Esférica de cada capa, coraza o envoltura vale:

 

dinámica 4

 


El radio en esta fórmula es una variable porque cada capa tiene su propio radio.

 

La derivada del Volumen de la esfera es igual a la Superficie de la misma.

 

Lo comprobamos de un modo muy sencillo:

 


dinámica 4

 


La masa por unidad de volumen es dinámica 4

 


Derivamos los miembros de la fracción:

 

dinámica 4

 


Despejamos dinámica 4

 


Sustituimos este valor en (I): dinámica 4

 


Sacamos del integrando las constantes, hallamos la integral y simplificando, todo ello lo tienes realizado paso a paso:

 

 


dinámica 4

 

 


dinámica 4

 

 


dinámica 4

 

 

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