Lección 3ª

 

 

 

 

 

   

VOLUMEN DEL TETRAEDRO.

 

El volumen puedes obtener de dos modos, ambos un poco laboriosos.
1) Aplicar los cálculos precisos para cada problema.
2) Obtener una fórmula y aplicarla en cada caso.

Como siempre, y en general, volumen es igual al área de la base por la altura.

1) Resolvemos, explicando paso a paso, el ejercicio siguiente:

15(3).9  Las aristas de un tetraedro miden 2,5 cm. Calcular su volumen.

Respuesta:

Solución
Según los datos, tenemos la siguiente figura que representa una de las 4 caras iguales de un tetraedro, y por lo tanto su base de 2,5 cm.

Tenemos que calcular la altura que la representaremos con h.
Tenemos en color amarillo, un triángulo rectángulo en el conocemos la hipotenusa (2,5 cm) y un cateto (mitad de la base que mide 1,25 cm.). Utilizando el teorema de Pitágoras tendremos:

 

La base, es un triángulo equilátero, es decir, con sus tres lados iguales. Los lados son las aristas del tetraedro.
El área de la base la obtenemos multiplicando la base por la altura y dividiendo por dos por tratarse de un triángulo:

 

Una vez calculada el área de la base pasamos a hallar el volumen del tetraedro.
Nos encontramos que desconocemos la altura del tetraedro y antes es bueno recordar que no confundas altura del tetraedro con apotema.
Apotema en los cuerpos geométricos significa la altura de una cara.
La línea en color amarillo es la altura del tetraedro y la línea en color rojo es la apotema.

Creo que no estará de más recordar lo que es el ortocentro.
Ortocentro es el punto donde se cortan las 3 alturas de un triángulo.

En la figura siguiente puedes ver un punto verde u ortocentro el lugar donde se cortan las 3 alturas (color azul) de un triángulo.


Por ello, al medir la altura del triángulo 2,165cm., el ortocentro se halla a 1,443 cm., del vértice y a 0,722 del lado del triángulo. La de estas dos distancias nos dará la longitud de la altura del triángulo.

El tetraedro podemos construirlo tal como lo tienes en la figura siguiente:

En el triángulo rectángulo de color amarillo tenemos que calcular la altura del tetraedro (un cateto). Conocemos el otro cateto que es del valor de la apotema o altura de una cara, en este momento de la base que mide 0,722 cm. La hipotenusa es el valor de la apotema.
Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras según la figura siguiente escribimos:

Para calcular el volumen de un poliedro tenemos que tener mucho cuidado.
 No es suficiente decir que basta multiplicar el área de la base por la altura, esto sí es cierto en los prismas.

Los poliedros son cuerpos geométricos limitados por caras que son polígonos.  son cuerpos geométricos que están limitados por su parte superior e inferior por polígonos iguales que llamamos bases.

Ejemplo:

 

 

Para calcular el volumen de un tetraedro debes observar el siguiente ejemplo:

 

Ves a la izquierda, tres recipientes iguales (TETRAEDROS), que aunque estén en equilibrio muy inestable, van a servirnos para ver como se calcula el volumen de un tetraedro. A la derecha se encuentra un recipiente  que tiene la misma base y la misma altura de cada uno de los tetraedros iguales
Para llenar el recipiente de la derecha, es decir, del prisma, necesitamos la capacidad de tres tetraedros.
Si el volumen de un prisma calculamos multiplicando área de la base por la altura, es fácil ver, que el volumen de un tetraedro vale lo mismo que la tercera parte del volumen de un prisma con la misma base y la misma altura.

Volviendo a nuestro problema, el volumen del tetraedro propuesto será:

 

15(3).10   Calcula el volumen de un tetraedro que tiene  una arista de 3 cm.

Respuesta:

2) Deducimos una fórmula para obtener el volumen de un tetraedro.

Iremos haciendo nuestro trabajo paso a paso y sirviéndonos en cada uno de ellos de la correspondiente figura.
Partimos de que conocemos el valor de la arista (a):

 

Calculamos el valor de la apotema o altura de una cara de un triángulo equilátero. En nuestra figura tienes en color verde un triángulo rectángulo (la hipotenusa vale a y los catetos,

Vamos a calcular el valor de la apotema:

Por Pitágoras sabemos:

 

Extraemos la raíz cuadrada en ambos términos de la igualdad:

Conocidos los valores de la arista y la apotema hallamos el área de una cara cualquiera porque las 4 de un tetraedro son iguales (base por altura dividido entre dos):

El valor de ap lo sustituimos por su valor en función de la arista que ya lo hemos calculado anteriormente:

 

Para calcular el volumen necesitamos conocer la altura del tetraedro y para ello vas a fijarte en la figura siguiente:

Recuerda que el ortocentro o punto donde se cortan las alturas de un triángulo dista de su longitud hasta el lado opuesto, es decir, que equivale a un cateto del triángulo rectángulo de color verde. Este valor lo escribimos en función de la arista y obtenemos:

La hipotenusa del triángulo verde vemos vale luego aplicando el teorema de Pitágoras y el otro cateto es h la altura del tetraedro escribimos:

Extraemos las raíces cuadradas en ambos miembros:

Ya hemos conseguido obtener los valores del:

Si estuviésemos tratando con prismas el volumen sería: Área de la base X altura, pero en este poliedro el volumen sería la tercera parte, recuerda que el volumen de tres tetraedros iguales equivalen al de un prisma de la misma altura y bases paralelas e iguales a sus caras.
El volumen de un tetraedro será, por lo tanto:

Después de simplificar las  nos ha quedado una fórmula muy simple en la que únicamente se requiere conocer el valor de la arista.

 

15(3).11   Calcula el volumen de un tetraedro que tiene  una arista de 3 cm. aplicando la fórmula que acabamos de deducir:

Respuesta: