PRODUCTO
ESCALAR DE DOS VECTORES A PARTIR
DE LA
PROYECCIÓN DE UN
VECTOR SOBRE OTRO
Nos fijamos en los
dos vectores
Vamos
a proyectar el vector
sobre el vector
pero antes
recordemos que:
Proyectar
un punto A sobre una recta (r) es trazar una perpendicular
desde
el punto a la recta. El punto A’ en
la recta es la proyección.
La
proyección de un segmento sobre una recta
es el segmento AB sobre
ésta
limitada por las proyecciones de los puntos que lo determinan A’B’.
En el caso de
que el segmento tuviese un punto
en común con la recta (A)
tendríamos
que proyectar solamente el otro extremo de dicho segmento (B):
Ejemplos:
Volvemos al tema.
Proyectamos el vector 
sobre el vector y
lo señalamos con 
:
Si
observas en la figura,
el
Haciendo operaciones
vemos
que 
Sabemos
que 
y en esta
fórmula
sustituimos 
y nos queda:
Ahora
proyectamos sobre
y
llamamos 
a la proyección.
Hallamos
el coseno del
ángulo 
Haciendo
operaciones: 
Reemplazando
este valor en: 
El producto escalar de dos
vectores es igual al módulo de
uno de ellos por la proyección del otro sobre
aquél.
Para saber el valor de una proyección
nos
basta con despejarla de la fórmula que nos interese:
Tomamos la fórmula 
y de ella
despejamos el
valor de la proyección de sobre , es decir :
Aplicamos
la fórmula:
21.24 Halla
la proyección del vector
= (-3,-4) sobre
el vector = (4,-5). Dibuja.
Respuesta:
1,25
21.25 Tenemos
el vector 
Calcula el valor
de k
para
que sea 
(vector
unitario).
Respuesta: 
Solución
Para
que sean unitarios los módulos de ambos
vectores han de valer 1
Elevamos los dos miembros de la igualdad al
cuadrado:
Comprobamos:
sustituimos
el valor de k
por:
21.26 Tienes
el vector 
. Calcula
h para que
sea
igual a 1.
Respuesta: 
21.27 ¿Cuánto vale el producto
escalar de los vectores 
?
Respuesta:
39
21.28 ¿Cuánto
vale el ángulo formado por los vectores anteriores?
Respuesta:
3º(aproximadamente)
. Dibuja.
