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PRODUCTO
ESCALAR DE DOS VECTORES
El
resultado tiene valor escalar.
Hasta
ahora hemos considerado que
los vectores unitarios  son perpendiculares. Pasamos a
estudiar cuando entre
ellos no hay 90º.
Procura
entender bien lo siguiente:
En
física, cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo
y éste se mueve decimos que
hacemos un trabajo.
Sobre
un suelo horizontal con un fuerza F trasladamos
un peso de 100 kilos a una distancia d.
El
producto  nos
da el
valor del trabajo (T).
Esto
quiere decir que:
Cuanto
más fuerza tenemos
que hacer, el trabajo será mayor.
Cuanto
mayor sea la
distancia a la que hemos desplazado el cuerpo, mayor será el
trabajo que hemos
hecho.
Entendemos
como trabajo, en Física (mecánica), como el
producto de una Fuerza por la Distancia que
recorre un
cuerpo al que le hemos aplicado la fuerza.
La
distancia que recorre es una magnitud vectorial porque tiene una medida
–módulo-,
una dirección y un sentido.
Lo
mismo sucede con la fuerza que hacemos sobre el objeto. Tenemos
que indicar de
cuanto es el valor de la misma, su
dirección y sentido, incluso podemos hablar
de su punto de aplicación.
La
fuerza la puedes aplicar en el mismo sentido que el desplazamiento.
Tal como aparece en la última figura.
Pero
el ángulo que forma la fuerza con el
desplazamiento puede variar entre un
ángulo de 0º a 90º.
En
el primer caso, el ángulo entre F
y d es de 0º.
En
el segundo caso, el ángulo entre F
y d es de 22º.
En
el tercer caso, el ángulo entre
F
y d es
de 90º.
¿Puede
influir el ángulo en la cantidad de trabajo que
tenemos que hacer?
La
respuesta es sí.
¿Por
qué?
No
es lo mismo hacer una fuerza en una dirección distinta a la
del desplazamiento.
El
valor de la fuerza que actúa sobre el sólido en
este caso, no
tiene el mismo valor que si las
direcciones de la fuerza y desplazamiento
coincidieran.
Cuando
existe un ángulo entre F y d, tenemos que calcular la fuerza (f) que actúa en el
sólido en la misma
dirección que su desplazamiento:
Como
f es
el cateto contiguo, hallamos
el coseno
de 45º:
La
verdadera fuerza que actúa sobre
el sólido es f. Es
la fuerza que tiene la misma dirección que el
desplazamiento.
La
fórmula completa del trabajo será:
El
coseno de 30º vale 0,
8660.
El
coseno de 45º vale
0, 7071.
El
coseno de 70º vale
0, 3421.
El
coseno de 90º vale
0, 0000.
Ves
que a medida que aumenta el valor del ángulo, el
valor del  disminuye,
lo que quiere decir que también
el valor del trabajo será menor.
Volvemos
al origen del
tema que estamos tratando.
Producto
escalar de dos vectores.
Según vemos, el producto de dos
vectores F
y
d siendo α
el ángulo entre ellos es un
valor escalar que procede de multiplicar
los valores escalares de dichos vectores
por el coseno
del ángulo.
A
partir de ahora, tenemos
en cuenta que dos vectores no
sean perpendiculares tal
como lo hemos considerado hasta ahora.
A los
vectores los representamos con letras minúsculas
y con una pequeña flecha sobre
ellas indicando dirección
y sentido:  .
Sus
valores escalares o módulos
los representamos: 
El
valor escalar del vector:
Es
decir, 
Al
coseno del ángulo que forman los vectores  lo
representamos por  .
Ten
en cuenta que  son
números reales o escalares. En
cambio,  son
vectores y los representamos:
y
lo que hemos hecho
aplicar lo anteriormente explicado.
21.20 Calcula el
ángulo formado por los
vectores  y  .
Respuesta:
31º
Solución:
Tomamos
la fórmula:  y despejamos: 
Recuerda
que los módulos  valen:
|
y 
.
?
