Potencias y raíces de números complejos

Potencia n-sima de un número complejo

Para calcular la potencia de un número complejo aplicamos la fórmula de Moivre

$open parentheses cos theta plus i s e n theta close parentheses to the power of n equals open parentheses cos left parenthesis n theta right parenthesis plus i s e n left parenthesis n theta right parenthesis close parentheses$

por lo tanto

$S i space n space e s space u n space n ú m e r o space e n t e r o space p o s i t i v o space y space z equals open vertical bar z close vertical bar open parentheses cos theta plus i s e n theta close parentheses space e n t o n c e s z to the power of n equals open vertical bar z close vertical bar to the power of n open parentheses cos theta plus i s e n theta close parentheses to the power of n equals open vertical bar z close vertical bar to the power of n open parentheses cos left parenthesis n theta right parenthesis plus i s e n left parenthesis n theta right parenthesis close parentheses$

Es decir para elevar a la n-sima potencia un número complejo se eleva a la n-sima potencia el módulo y se multiplica por n el argumento

Ejemplos:

$open parentheses 3 subscript straight pi divided by 6 end subscript close parentheses cubed equals 27 subscript straight pi divided by 2 end subscript open parentheses 2 subscript straight pi divided by 3 end subscript close parentheses to the power of 4 equals 16 subscript fraction numerator 4 straight pi over denominator 3 end fraction end subscript open parentheses 2 subscript straight pi divided by 6 end subscript close parentheses squared equals 4 subscript straight pi over 3 end subscript$

Cálculo de la raíz n-sima de un número complejo

$P a r a space d e t e r m i n a r space l a space r a í z space n minus s i m a space d e space u n space n ú m e r o space c o m p l e j o space z space d e b e m o s space c a l c u l a r space e l space n ú m e r o space c o m p l e j o space w space q u e space s a t i s f a c e space l a space e c u a c i o n w to the power of n equals z s i e n d o space w equals open vertical bar w close vertical bar open parentheses cos alpha plus i s e n alpha close parentheses space y space z equals open vertical bar z close vertical bar open parentheses cos theta plus i s e n theta close parentheses p a r a space s a t i s f a c e r space l a space e c u a c i ó n open vertical bar w close vertical bar to the power of n open parentheses cos left parenthesis n alpha right parenthesis plus i s e n left parenthesis n alpha right parenthesis close parentheses equals open vertical bar z close vertical bar open parentheses cos theta plus i s e n theta close parentheses s e space d e b e space c u m p l i r space q u e space open vertical bar w close vertical bar equals open vertical bar z close vertical bar to the power of bevelled 1 over n end exponent space y space q u e space cos left parenthesis n alpha right parenthesis equals cos theta space y space s e n left parenthesis n alpha right parenthesis equals cos theta p a r a space q u e space s e space c u m p l a space e s t a space ú l t i m a space c o n d i c i ó n space s e space d e b e space v e r i f i c a r space q u e n alpha equals theta plus 2 k pi alpha equals straight pi over n plus fraction numerator 2 k straight pi over denominator n end fraction space k equals 0... n minus 1 space space space space space p o r space l o space tan t o w equals open vertical bar z close vertical bar to the power of bevelled 1 over n end exponent open parentheses cos open parentheses straight pi over n plus fraction numerator 2 k straight pi over denominator n end fraction close parentheses plus i s e n open parentheses straight pi over n plus fraction numerator 2 k straight pi over denominator n end fraction close parentheses close parentheses space k equals 0 horizontal ellipsis n minus 1$

Variando los valores de k se obtienen las n raíces n-simas de un número complejo (un número complejo tiene n raíces n-simas en C).

Ejemplo calcular las raíces cúbicas de -8

Escribimos -8 en forma polar $8 subscript straight pi$

El módulo de las raíces cúbicas es

$cube root of 8 equals 2$

Y el argumento

$straight pi over 3 plus fraction numerator 2 k straight pi over denominator 3 end fraction d o n d e space k equals 0 horizontal ellipsis 2$

es decir los argumentos son

$straight pi over 3 comma space straight pi space straight y space 5 over 3 straight pi$

por lo tanto las tres raíces cúbicas de -8 son

$2 subscript straight pi over 3 end subscript 2 subscript straight pi 2 subscript fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction end subscript$

Las podemos expresar en forma binómica

$2 subscript straight pi over 3 end subscript equals 2 left parenthesis cos straight pi over 3 plus i s e n straight pi over 3 right parenthesis equals 1 plus square root of 3 i 2 subscript straight pi equals 2 left parenthesis cosπ plus i s e n straight pi right parenthesis equals negative 2 2 subscript fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction end subscript equals 2 left parenthesis cos straight pi over 3 plus i s e n straight pi over 3 right parenthesis equals 1 minus square root of 3 i$

En la siguiente figura se muestran las raíces cúbicas de -8, se observa que una de ellas pertenece a los números reales.

A continuación se pueden realizar unos ejercicios de autoevaluación

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Realizar la operación (-1+i)⁸ 16√2+16√2i 16i 16 Realizar el producto (1_Π/4)²⁰ i -1 1 ¿cuales son las tres raíces cúbicas de uno $cube root of 1$ ? 1, -1/2+i√3/2, -1/2-i√3/2 1, -1+3i, -1/2-i√3/2 1, -1/2+i√3/2, 1/2-i√3/2
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