Regla de Cramer

Cuando el sistema es cuadrado (mismo número de ecuaciones que de incógnitas) y la matriz tiene inversa, se denomina sistema de Cramer.

Este sistema se puede resolver aplicando un método que se denomina Regla de Cramer:

La solución de una incógnita cualquiera del sistema “x j" se calcula dividiendo:

El determinante que resultaría de sustituir en la matriz la columna que ocupa dicha incógnita por la columna de los términos independientes.

Entre:

El determinante de la matriz inicial.

Esta regla nos permite calcular de forma sencilla las soluciones del sistema:

1er ejemplo

x + 2y – 3z = 2

3x - y + z = 1

-2x + 3y + 2z = 3

Cumple las dos condiciones para aplicar la Regla de Cramer: es un sistema cuadrado y la matriz tiene inversa.

Vimos que la matriz de coeficientes era:

Y que su determinante era -42

a) Vamos a calcular la solución de la incógnita “x”: sustituimos en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes:

Calculamos su determinante: |A| = -26

Luego x = -26 / -42 = 0,6190

b) Solución de la incógnita “y”: sustituimos en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes:

Calculamos su determinante: |A| = -50

Luego y = -50 / -42 = 1,1905

c) Solución de la incógnita “z”: sustituimos en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes:

Calculamos su determinante: |A| = -14

Luego z = -14 / -42 = -0,333

Podemos ver que las soluciones calculadas por este método son iguales a las obtenidas en el apartado anterior.

2º ejemplo

3x - y + 4z = 1

2x + 3y + 2z = 5

x + y + 3z = 2

Es un sistema cuadrado. Comprobamos si la matriz tiene inversa. Para ver si una matriz A tiene inversa calculamos su determinante “det(A)” y este debe ser distinto de cero.

La matriz de coeficiente es:

Y que su determinante era 21

a) Vamos a calcular la solución de la incógnita x: sustituimos en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes:

Calculamos su determinante: |A| = 14

Luego x1 = 14 / 21 = 0,6666

b) Solución de la incógnita y: sustituimos en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes:

Calculamos su determinante: |A| = 25

Luego y1 = 25 / 21 = 1,1905

c) Solución de la incógnita z: sustituimos en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes:

Calculamos su determinante: |A| = 1

Luego z1 = 1 / 21 = 0,0476

Ya tenemos la solución:

x1 = 0,6666

y1 = 1,1905

z1 = 0,0476

Vamos a verificar que estos valores hacen cumplir las igualdades del sistema inicial:

3x - y + 4z = 1

2x + 3y + 2z = 5

x + y + 3z = 2

Sustituyendo:

3*(0,6666) - (1,1905) + 4*(0,0476) = 1

2*(0,6666) + 3*(1,1905) + 2*(0,0476) = 5

(0,6666) + (1,1905) + 3*(0,0476) = 2

Operando:

1 = 1

5 = 5

2 = 2

Teorema de Rouché–Frobenius

Este teorema nos permite saber sin un sistema cualquiera de ecuaciones lineales tiene solución, y si la solución es única o son infinitas. Este sistema no permite calcular las soluciones, únicamente nos indica si hay o no.

Para ello calculamos el rango de la matriz A y de la matriz ampliada (A / B). Puede ocurrir:

a) Rg (A) = Rg (A / B). La matriz tiene solución.

Si el Rg (A) = nº de incógnitas entonces la solución es única (sistema compatible determinado)

Si el Rg (A) < nº de incógnitas entonces hay infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)

b) Rg (A) ≠ Rg (A / B). La matriz no tiene solución (sistema incompatible)

Sistemas homogéneos

Sistema homogéneo es aquel que tiene todos los términos independientes nulos.

x + 2y – 3z = 0

3x - y + z = 0

-2x + 3y + 2z = 0

Todos sistema homogéneo es compatible (tiene solución) ya que cuando todas las incógnitas toman el valor 0 se cumplen las ecuaciones (esta solución se denomina solución trivial). La cuestión es determinar si es un sistema compatible determinado (con 1 sola solución) o compatible indeterminado (con infinitas soluciones).

Aplicando el teorema de Rouche que vimos anteriormente se pueden plantear dos situaciones:

Si el Rg (A) = nº de incógnitas entonces la solución es única, la solución trivial (sistema compatible determinado)

Si el Rg (A) < nº de incógnitas entonces hay infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).

Analicemos el ejemplo anterior:

a) El rango de la matriz será >= 1 ya que hay elementos dentro de la matriz distintos de 0.

b) El rango de la matriz también será >= 2 ya que existe alguna submatriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante no es nulo.

c) Por último vamos a comprobar si el rango de la matriz = 3.

Luego efectivamente el rango de la matriz es 3. Por lo tanto Rg (A) = 3 = nº de incógnitas, por lo que la solución es única (la solución trivial)