Ejercicios (Continuación)

17º ejemplo

Comprobamos si esta solución x1 = 0,8411 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

3 * sen x = 2 * tg x

3 * sen 0,8411 = 2 * tg 0,8411

3 * 0,7453 = 2 * 1,1180

2,2361 = 2,2361

Por lo tanto la solución x1 = 0,8411 es solución válida de la ecuación inicial.

La función coseno tiene un periodo de 2π (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

x1 = 0,8411 + 6,2832

x1 = 7,1243 (expresado en radianes) / 408º 11’ 23’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 0,8411 + (2 * 6,2832)

18º ejemplo

Comenzamos a operar buscando simplificar la ecuación inicial:

a) Dividimos ambos miembros de la ecuación entre 2:

b) Aplicamos la siguiente relación trigonométrica:

sen (x + y) = sen x * cos y + cos x * sen y

c) En la tabla de valores de las funciones trigonométricas vemos que:

Sustituyendo en la ecuación inicial quedaría:

sen (x + 60º) = 0,25

x + 60º = arcsen (0,25)

x + 60º = 0,2527

Como la solución la tenemos expresada en radianes convertimos 60º en radianes:

60º = 1,0472 radianes

Por lo tanto

x + 1,0472 = 0,2527

x1 = -0,7945 (expresado en radianes) / -45º 31’ 21’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = -0,7945 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

Por lo tanto la solución x1 = -0,7945 es solución válida de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

x1 = -0,7945 + 6,2832

x1 = 5,4887 (expresado en radianes) / 314º 28’ 39’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = -0,7945 + (2 * 6,2832)

19º ejemplo

cos 2x = sen 120º

Operamos:

cos 2x = 0,8660

2x = arccos (0,8660)

2x = 0,5236

x1 = 0,2618 (expresado en radianes) / 15º 00’ 00’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 0,2618 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

cos 2x = sen 120º

cos 2*0,2618 = 0,8660

0,8660 = 0,8660

Por lo tanto la solución x1 = 0,2618 es solución válida de la ecuación inicial.

La función coseno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

1ª solución:

x1 = 0,2618 + 6,2832

x1 = 6,5450 (expresado en radianes) / 375º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 0,2618 + (2 * 6,2832)

20º ejemplo

sen 2x = sen x

Expresamos todos los términos de la ecuación con el mismo ángulo:

sen 2x = 2 * sen x * cos x

Luego la ecuación quedaría:

2 * sen x * cos x = sen x

Operamos:

2 * sen x * cos x - sen x = 0

sen x * (2 * cos x -1) = 0

Si el producto es igual a cero esta igualdad se cumple cuando cualquiera de los factores es igual a 0. Luego igualamos cada factor a cero:

a) sen x = 0

x = arcsen (0)

x1 = 0 (expresado en radianes) / 0º 00’ 00’’ (expresado en grados)

b) (2 * cos x -1) = 0

2 * cos x = 1

cos x = 1 / 2

x = arccos (0,5)

x2 = 1,0472 (expresado en radianes) / 60º 00’ 00’’ (expresado en grados)

Comprobamos si estas soluciones cumplen la igualdad en la ecuación inicial:

a) x1 = 0

sen 2x = sen x

sen (2*0) = sen 0

sen 0 = sen 0

0 = 0

Por lo tanto la solución x1 = 0 lo es de la ecuación inicial

b) x2 = 1,0472

sen 2x = sen x

sen (2*1,0472) = sen 1,0472

sen 2,0944 = sen 1,0472

0,8660 = 0,8660

Por lo tanto la solución x2 = 1,0472 también lo es de la ecuación inicial

La función seno y coseno tienen un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también serán solución de la ecuación:

1ª solución

x1 = 0 + 6,2832

x1 = 6,2832 (expresado en radianes) / 360º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 0 + (2 * 6,2832)

2ª solución

x2 = 1,0472 + 6,2832

x2 = 7,3304 (expresado en radianes) / 420º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x2 = 1,0472 + (2 * 6,2832)

21º ejemplo

Resolvemos esta ecuación aplicando el sistema de resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita:

Procedemos a calcular la variable original:

1ª solución: (y1 = 0,681)

y = cos x

0,681 = cos x

x = arccos (0,681)

x1 = 0,8216 (expresado en radianes); 47º 04’ 34’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 0,8216 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

Por lo tanto la solución x1 = 0,8216 es solución de la ecuación inicial.

2ª solución: (y2 = -0,881)

y = cos x

-0,881 = cos x

x = arccos (-0,881)

x2 = 2,6488 (expresado en radianes) / 151º 45’ 59’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x2 = 2,6488 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

Por lo tanto la solución x2 = 2,6488 es solución de la ecuación inicial.

La función coseno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también serán solución de la ecuación:

1ª solución:

x1 = 0,8216 + 6,2832

x1 = 7,1048 (expresado en radianes) / 407º 04’ 34’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 0,8216 + (2 * 6,2832)

2ª solución:

x2 = 2,6488 + 6,2832

x2 = 8,9320 (expresado en radianes) / 511º 45’ 59’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x2 = 2,6488 + (2 * 6,2832)

22º ejemplo

sen x * cos x = 0,4

Aplicando la relación trigonométrica:

sen 2x = 2 * sen x * cos x

1/ 2 * sen 2x = sen x * cos x

La ecuación quedaría:

1/ 2 * sen 2x = 0,4

sen 2x = 0,8

2x = arcen (1,6)

2x = 0,9273

x1 = 0,9273 / 2 = 0,4636 (expresado en radianes) / 26º 33’ 54’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 0,4636 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

sen x * cos x = 0,4

sen 0,4636 * cos 0,4636 = 0,4

0,4472 * 0,8944 = 0,4

0,4 = 0,4

Por lo tanto la solución x1 = 0,4636 es solución de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también serán solución de la ecuación:

2x = 0,9273 + 6,2832

2x = 7,2105

x1 = 3,6052 (expresado en radianes) / 206º 33’ 54’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

2x = 0,9273 + (2 * 6,2832)

23º ejemplo

cos (2x) – cos (6x) = sen (5x) + sen (3x)

Hay que operar con la ecuación con idea de reducir la diversidad de ángulos.

Aplicando la relación trigonométrica:

Aplicando las relaciones trigonométricas:

sen (-x) = - sen(x)

La ecuación quedaría:

sen (4x) * sen (2x) = sen (4x) * cos (x)

Operamos:

sen (4x) * sen (2x) - sen (4x) * cos (x) = 0

sen (4x) * (sen (2x) - cos (x)) = 0

Un producto es igual a 0 cuando cualquiera de sus factores es 0:

a) Igualamos a 0 el primer factor:

sen (4x) = 0

4x = arcsen (0)

4x = 0

x1 = 0 (expresado en radianes) / 0º 0’ 0’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 0 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

cos (2x) – cos (6x) = sen (5x) + sen (3x)

cos (2*0) – cos (6*0) = sen (5*0) + sen (3*0)

cos (0) – cos (0) = sen (0) + sen (0)

1 – 1 = 0 + 0

0 = 0

Por lo tanto la solución x1 = 0 es solución de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también serán solución de la ecuación:

1ª solución:

4x = 0 + 6,2832

4x = 6,2832

x1 = 1,5708 (expresado en radianes) / 90º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

4x = 0 + (2 * 6,2832)

b) Igualamos a 0 el segundo factor:

sen (2x) - cos (x) = 0

Aplicando las relaciones trigonométricas:

sen (2x) = 2* sen (x) * cos (x)

La ecuación quedaría:

2* sen (x) * cos (x) - cos (x) = 0

cos (x) * (2* sen (x) – 1) = 0

Un producto es igual a 0 cuando cualquiera de sus factores es 0:

b.1) Igualamos a 0 el primer factor:

cos (x)= 0

x = arccos (0)

x2 = 1,5708 (expresado en radianes) / 90º 00’ 00’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x2 = 1,5708 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

cos (2x) – cos (6x) = sen (5x) + sen (3x)

cos (2*1,5708) – cos (6*1,5708) = sen (5*1,5708) + sen (3*1,5708)

-1 + 1 = 1 - 1

0 = 0

Por lo tanto la solución x2 = 1,5708 es solución de la ecuación inicial.

La función coseno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también serán solución de la ecuación:

x2 = 1,5708 + 6,2832

x1 = 7,8540 (expresado en radianes) / 450º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x2 = 1,5708 + (2 * 6,2832)

b.2) Igualamos a 0 el segundo factor:

2* sen (x) – 1 = 0

sen (x) = 0,5

x = arcsen (0,5)

x3 = 0,5236 (expresado en radianes) / 30º 00’ 00’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x3 = 0,5236 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

cos (2x) – cos (6x) = sen (5x) + sen (3x)

cos (2*0,5236) – cos (6*0,5236) = sen (5*0,5236) + sen (3*0,5236)

0,5 + 1 = 0,5 + 1

1,5 = 1,5

Por lo tanto la solución x3 = 0,5236 es solución de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también serán solución de la ecuación:

x3 = 0,5236 + 6,2832

x3 = 6,8068 (expresado en radianes) / 390º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x3 = 0,5236 + (2 * 6,2832)

24º ejemplo

sen 2x = 0

2x = arsen (0)

2x = 0

x1 = 0 (expresado en radianes) / 0º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también serán solución de la ecuación:

2x = 0 + 6,2832

x1 = 3,1416 (expresado en radianes) / 180º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

2x = 0 + (2 * 6,2832)