Ejercicios (Continuación)

7º ejemplo

a) Analizamos la primera solución: cos 2x = + 0,8660

2x = arcos (0,8660)

2x = 0,5236

x = 0,2618 (expresado en radianes) / 15º 00’ 00’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución (x1 = 0,2618) cumple la igualdad en la ecuación original:

Por lo tanto la solución x1 = 0,2618 es solución válida de la ecuación inicial.

b) Analizamos la segunda solución: cos 2x = - 0,8660

2x = arcos (-0,8660)

2x = 2,6180

x = 1,3090 (expresado en radianes) / 75º 00’ 00’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución (x2 = 1,3090) cumple la igualdad en la ecuación original:

Por lo tanto la solución x2 = 1,3090 es solución válida de la ecuación inicial.

La función coseno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

1ª solución:

2x = 0,5236 + 6,2832

x1 = 3,4034 (expresado en radianes) / 195º 00’ 00’’ (expresado en grados)

2ª solución:

2x = 2,6180 + 6,2832

x2 = 4,4506 (expresado en radianes) / 255º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

2x1 = 0,5236 + (2 * 6,2832)

2x2 = 2,6180 + (2 * 6,2832)

8º ejemplo

2 + sen x = cosec x

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

Resolvemos esta ecuación aplicando el sistema de resolución de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita:

Procedemos a calcular la variable original:

1ª solución: (y1 = 0,414)

sen x = y

sen x = 0,414

x = arsen (0,414)

x = 0,4271 (expresado en radianes) / 23º 43’ 58’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 0,4271 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

sen x + 2 = cosec x

sen (0,4271) + 2 = cosec (0,4271)

0,4142 + 2 = 2,4142

Por lo tanto la solución x1 = 0,4271 es solución válida de la ecuación inicial.

2ª solución: (y2 = -2,414)

sen x = y

2,4142 = 2,4142

sen x = -2,414

No tiene solución; los valores de “sen x” pueden tomar valores en el intervalo (-1, 1), por lo que no pueden tomar el valor -2,414. Por lo tanto y2 = -2,414 no permite hacer el cambio de variable, no permitiendo calcular una solución de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

1ª solución:

x = 0,4271 + 6,2832

x1 = 6,7103 (expresado en radianes) / 384º 28’ 11’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x = 0,4271 + (2 * 6,2832)

9º ejemplo

sen x – sen (x + ) = 1,5

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

Ángulos que difieren en 180º: sen x = - sen (x + )

La ecuación quedaría:

sen x + sen x = 1,5

2 * sen x = 1,5

sen x = 0,75

x = arcsen (0,75)

x = 0,8481 (expresado en radianes) / 48º 35’ 25’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 0,8481 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

 = 3,1416… radianaes

sen (0,8481) – sen (3,9897) = 1,5

0,75 – (-0,75) = 1,5

1,5 = 1,5

Por lo tanto la solución x1 = 0,8481 es solución válida de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

1ª solución:

x1 = 0,8481 + 6,2832

x1 = 7,1312 (expresado en radianes) / 408º 35’ 25’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 0,8481 + (2 * 6,2832)

10º ejemplo

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

La ecuación quedaría:

sen x + 2 * sen x = 1

3 * sen x = 1

sen x = 0,3333

x = arcsen 0,3333

x = 0,3398 (expresado en radianes) / 19º 28’ 16’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 0,3398 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

Por lo tanto la solución x1 = 0,3398 es solución válida de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

1ª solución:

sen x = 0,3333 + 6,2832

x1 = 6,6230 (expresado en radianes) / 379º 28’ 16’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 0,3333 + (2 * 6,2832)

11º ejemplo

4*cos x - 2 = cos (− x)

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

Ángulos suplementarios: cos x = - cos (− x)

La ecuación quedaría:

4*cos x - 2 = - cos (x)

Operando:

5*cos x = 2

cos x = 0,4

Para despejar la “x” aplicamos la función arcoseno.

x = arccos 0,4

x1 = 1,1593 (expresado en radianes) / 66º 25’ 19’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 1,593 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

4*cos (x) - 2 = cos (− x)

 = 3,1416

4*cos 1,1593 - 2 = cos 1,9823

4 * 0,4 = -0,4 + 2

1,6 = 1,6

Por lo tanto la solución x1 = 1,593 es solución válida de la ecuación inicial.

La función coseno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

x1 = 1,1593 + 6,2832

x1 = 7,4425 (expresado en radianes) / 426º 25’ 19’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 1,1593 + (2 * 6,2832)

12º ejemplo

3 * tg x + tg (2π− x) = 5

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

Ángulos opuestos: tg x = - tg (2− x)

La ecuación quedaría:

3 * tg x – tg x = 5

Operando:

2 * tg x = 5

tg x = 2,5

x = arctg (2,5)

x1 = 1,1903 (expresado en radianes) / 68º 11’ 55’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 1,1903 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

3 * tg x + tg (2− x) = 5

2 = 6,2832

3 * tg 1,1903 + tg (2− 1,1903 ) = 5

3 * 2,5 – 2,5 = 5

5 = 5

Por lo tanto la solución x1 = 1,1903 es solución válida de la ecuación inicial.

La función tangente tiene un periodo de  (180º / 3,1416 radianes); luego también será solución de la ecuación:

x1 = 1,1903 + 3,1416

x1 = 4,3318 (expresado en radianes) / 248º 11’ 55’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 180º.

x1 = 1,1903 + (2 * 3,1416)

13º ejemplo

sen 2x * cos (x + 0,4) - cos 2x * sen (x + 0,4) = -0,6

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

sen (x – y) = sen x * cos y - cos x * sen y

La ecuación quedaría:

sen (2x – (x + 0,4)) = -0,6

Operando:

sen (x – 0,4) = -0,6

x – 0,4 =arcsen -0,6

x – 0,4 = -0,6435

x1 = -0,2435 (expresado en radianes) / -14º 02’ 54’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = -0,2435 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

sen 2x * cos (x + 0,4) - cos 2x * sen (x + 0,4) = -0,6

sen (2 * (-0,2435)) * cos (-0,2435 + 0,4) - cos (2 * (-0,2435)) * sen (-0,2435 + 0,4) = -0,6

sen -0,4870 * cos 0,1565 - cos -0,4870 * sen 0,1565 = -0,6

-0,4680 * 0,9877 – 0,8837 * 0,1558 = -0,6

-0,4622 – 0,1377 = -0,6

-0,6 = -0,6

Por lo tanto la solución x1 = -0,2435 es solución válida de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

1ª solución:

x1 = -0,2435 + 6,2832

x1 = 6,0397 (expresado en radianes) / 346º 02’ 54’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = -0,2435 + (2 * 6,2832)

14º ejemplo

Aplicamos la relación trigonométrica del ángulo doble que dice:

La ecuación quedaría:

- cos 2x = 0,9

cos 2x = -0,9

2x = arccos -0,9

2x = 2,6906

x1 = 1,3453 (expresado en radianes) / 77º 04’ 45’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 1,3453 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

Por lo tanto la solución x1 = 1,3453 es solución válida de la ecuación inicial.

La función coseno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

x1 = 1,3453 + 6,2832

x1 = 7,6285 (expresado en radianes) / 437º 04’ 45’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 1,3453 + (2 * 6,2832)

15º ejemplo

4 * tg x = 5 * sen x

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

Comprobamos si esta solución x1 = 0,6435 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

4 * tg x = 5 * sen x

4 * tg 0,6435 = 5 * sen 0,6435

4 * 0,75 = 5 * 0,6

3 = 3

Por lo tanto la solución x1 = 0,6435 es solución válida de la ecuación inicial.

La función coseno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

1ª solución:

x1 = 0,6435 + 6,2832

x1 = 6,9267 (expresado en radianes) / 396º 52’ 12’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 0,6435 + (2 * 6,2832)

16º ejemplo

sen 2x = cos x

Aplicamos la relación trigonométrica que dice:

Ángulo doble: sen 2x = 2 * sen x * cos x

La ecuación quedaría:

2 * sen x * cos x = cos x

2 * sen x = 1

sen x = 1

x = arcsen (1)

x1 = 1,5708 (expresado en radianes) / 90º 00’ 00’’ (expresado en grados)

Comprobamos si esta solución x1 = 1,5708 cumple la igualdad en la ecuación inicial:

Sen 2x = cos x

Sen (2 * 1,5708) = cos 1,5708

0 = 0

Por lo tanto la solución x1 = 1,5708 es solución válida de la ecuación inicial.

La función seno tiene un periodo de 2 (360º / 6,2832 radianes); luego también será solución de la ecuación:

1ª solución:

x1 = 1,5708 + 6,2832

x1 = 7,8540 (expresado en radianes) / 450º 00’ 00’’ (expresado en grados)

La solución se irá repitiendo cada 360º.

x1 = 1,5708 + (2 * 6,2832)