Identidades Logarítmicas

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

log_a (x * y) = log_a x + log_a y

Ejemplo:

log₂ (8 * 2) = log₂ 8 + log₂ 2

Demostración:

log₂ (8 * 2) = log₂ 16 = 4

log₂ 8 + log₂ 2 = 3 + 1 = 4

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

log_a (x / y) = log_a x - log_a y

Ejemplo:

log₃ (27 / 3) = log₃ 27 – log₃ 3

Demostración:

log₃ (27 / 3) = log₃ 9 = 2

log₃ 27 – log₃ 3 = 3 – 1 = 2

3. El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia por el logaritmo de la base de la potencia:

log_a xⁿ= n * log_a x

Ejemplo:

log₂ 2⁵ = 5 * log₂ 2

Demostración:

log₂ 2⁵ = log₂ 32 = 5

5 * log₂ 2 = 5 * 1 = 5

4. El logaritmo de una raíz es igual al inverso del índice por el logaritmo del radicando:

Ejemplo:

Demostración:

5. El logaritmo de un número es igual al opuesto del logaritmo de su inverso:

Ejemplo:

6. Cambio de base:

Ejemplo:

Demostración:

7. Cambio de base y argumento:

Ejemplo: