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Rentas con distintos tipos de interés

Hay rentas a las que se aplican distintos tipos de interés según los periodos:

Por ejemplo: Una renta de 3 años de duración a la que se aplican los siguientes tipos: 8% en el 1er año; 9% en el 2° año y 10% en el 3er año.

En estos casos hay que valorar cada tramo de forma independiente y sumar luego los valores obtenidos de cada tramo.

Ejemplo: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable de 1.000.000 ptas. y de 9 años de duración, a la que se le aplica el 5% en los 3 primeros años, el 6% en los 3 siguientes y el 7% en los 3 últimos:

Hay que calcular el valor inicial de cada tramo y sumarlo:

1) El primer tramo comprende 3 años y en el cálculo de su valor inicial se puede seguir el modelo de una renta normal pospagable:

Por lo tanto se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,05)^-3)/ 0,05)

luego, Vo = 1.000.000 * 2,7232

luego, Vo = 2.723.248 ptas.

Por lo tanto, el valor actual de la renta de este primer tramo es de 2.723.348 ptas.

2) Para el 2° tramo se calcula su valor actual al comienzos de dicho periodo (comienzos del 4° año) y luego se descuenta hasta el momento 0.

Se aplica la misma formula que en el caso anterior para calcular el valor actual a comienzos del 4° año:

luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,06)^-3)/ 0,06)

luego, Vo = 2.673.012 ptas.

El valor así calculado se descuenta 3 años (periodo diferido), pero en este descuento se aplica el tipo de interés del 1er periodo (5%), ya que es el tipo vigente en esos años

luego, Vk = 2.673.012 * (1 + 0,05)^-3

luego, Vk = 2.309.038 ptas.

Por lo tanto, el valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 2° tramo es de 2.309.038 ptas.

3) En el 3er tramo se aplica el mismo método: se calcula su valor actual al comienzo de dicho periodo (comienzos del 7° año) y luego se descuenta por el periodo diferido.

Cálculo de su valor actualizado a comienzos del 7° año:

luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,07)^-3)/ 0,07)

luego, Vo = 2.624.316 ptas.

Este valor se descuenta 6 años (periodo diferido): los 3 primeros aplicando el tipo del primer tramo (5%), y en los 3 siguientes, el del 2° tramo (6%).

luego, Vk = 2.624.316 * (1 + 0,05)^-3 * (1 + 0,06)^-3

luego, Vk = 1.903.264 ptas.

El valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 3° tramo es de 1.903.264 ptas.

4) Una vez calculado el valor actual de los tres tramos se suman y se obtiene el valor actual de toda la renta.

luego, Vo = 2.723.248 + 2.309038 + 1.903.264

luego, Vo = 6.935.550 ptas.

Por lo tanto, el valor actual de toda la renta es de 6.935.550 ptas.

En este tipo de renta en la que se aplican diversos tipos de interés resulta interesante conocer el tipo medio resultante.

Para ello se aplica la formula como si se tratara de una renta normal, con un sólo tipo de interés, y se despeja de la formula este tipo de interés medio:

luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)

luego, 6.935.550 = 1.000.000 * ((1 - (1 + im)^-9)/ im) (donde im es el tipo medio)

El cálculo de im exige una calculadora financiera, o se puede hacer por tanteo

luego im = 5,555% (calculado por tanteo)

Por lo tanto, la renta que hemos visto con tres tipos de interés diferentes es equivalente a una renta de igual duración y con los mismo términos de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés constante del 5,555%.

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