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Renta constante temporal pospagable

Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales.

Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades:

Renta temporal pospagable

Renta temporal prepagable

Renta perpetua pospagable

Renta perpetua prepagable

Renta diferida

Renta anticipada

Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable:

RENTA TEMPORAL POSPAGABLE

Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes).

Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de importes de 1 peseta.

Periodo

1

2

3

.....

.....

.....

.....

n-2

n-1

n

Importe (ptas)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto:

Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t

que es equivalente a:

Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t

Vamos a ir descontando cada importe:

Periodo

Importe

Importe descontado

1

1

1 / ( 1 + i )

2

1

1 / ( 1 + i )^2

3

1

1 / ( 1 + i )^3

.....

.....

.....

.....

.....

.....

n-2

1

1 / ( 1 + i )^n-2

n-1

1

1 / ( 1 + i )^n-1

n

1

1 / ( 1 + i )^n

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16

luego, Ao = 0,6461/0,16

luego, Ao = 4,0386 ptas.

Luego el valor actual de esta renta es 4,04 ptas.

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral.

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta:

Cf = Co * ( 1 + i) ^ t

Veamos el ejemplo:

Periodo

Importe

Importe capitalizado

1

1

1 * ( 1 + i )^n-1

2

1

1 * ( 1 + i )^n-2

3

1

1 * ( 1 + i )^n-3

n-2

1

1 * ( 1 + i )^2

n-1

1

1 * ( 1 + i )^1

n

1

1

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:

Sf = ((1 + i)^n - 1) / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Sf = ((1 + i)^n - 1) / i

luego, Sf = ((1 + 0,16)^7 - 1) / 0,16

luego, Sf = 1,8262/0,16

luego, Sf = 11,4139 ptas.

Luego el valor final de esta renta es 11,4 ptas.

Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final Sf, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula:

Sf = Ao (1 + i)^n

Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:

Hemos visto que Ao = 4,0386 ptas.

y que Sf = 11,4139 ptas.

Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^7

Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262

Luego 11,4139 = 11,4139

Se cumple, por tanto, la relación

 

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