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Teorema Central del Límite

El Teorema Central del Límite dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.

 

Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal.

 

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.

 

Los parámetros de la distribución normal son:

 

Media: n * m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)

Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales)

 

Veamos un ejemplo:

Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25.

Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.

La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal.

 

Media = 100 * 0,5 = 50

Varianza = 100 * 0,25 = 25

 

Para ver la probabilidad de que salgan más de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente:

 

Estadistica

 

(*) 5 es la raiz cuadrada de 25, o sea la desviación típica de esta distribución

Por lo tanto:

 

P (X > 60) = P (Y > 2,0) = 1- P (Y < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228

 

Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%

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