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Curso gratis de Progresiones Aritméticas - Producto de los Términos de una Progresión Geométrica

Observa la progresión geométrica:

matematicas-progresiones

Tenemos los términos: matematicas-progresiones

El producto de todos los términos de la progresión sería:

matematicas-progresiones

Sabemos que el orden de los factores no altera el resultado: 4 x 5 es lo mismo que 5 x 4.

Podemos decir que el valor de P será igual a:

matematicas-progresiones

Si multiplicas el primer término por el último
El segundo por el penúltimo

El tercero por el antepenúltimo, etc., todos los productos son iguales:

matematicas-progresiones

Multiplicamos los contenidos de los apartados (3) y (4) tanto los términos que se encuentran a la izquierda del signo = como los que se encuentran a la derecha de dicho signo.
Cada producto lo realizamos multiplicando el factor de la primera igualdad por su correspondiente factor de la segunda igualdad.

matematicas-progresiones

Hemos visto anteriormente que los productos entre paréntesis son iguales por lo que podemos escribir:

matematicas-progresiones

Despejando el valor de P:

matematicas-progresiones

El producto de los términos de una progresión geométrica es igual a la RAÍZ CUADRA DEL PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO POR EL ÚLTIMO ELEVADO AL NÚMERO DE TÉRMINOS.

Imagina que tienes la progresión geométrica: matematicas-progresiones

El producto de los términos es matematicas-progresiones

Aplicando la fórmula del producto:

matematicas-progresiones

Comprobamos el mismo resultado.

16.15 En una progresión geométrica de primer término 4 y razón 3, la suma de dos términos consecutivos es 1296 y el producto de estos mismos términos 314928¿Cuáles son estos dos términos consecutivos?

Respuesta: Los términos 5º y 6º

Solución:
Cuando conocemos los valores de la suma y el producto de dos números podemos escribir la ecuación de 2º grado:

matematicas-progresiones

Que corresponden al 6º y 5º términos respectivamente.

16.16 En la progresión geométrica de 9 términos: matematicas-progresiones.

Calcula la suma el valor del último término, la suma de los 9 y el producto de todos los términos (este último lo calculas si tienes ordenador o calculadora).

Respuestas: Último término: 78125; Suma: 97656,2: Producto: 7.450.580.596.923.830.000

16.17 Cuentan que al inventor del ajedrez le dijeron que pidiese lo que quisiera por haber ingeniado un juego tan interesante. Sabemos que el tablero del ajedrez tiene 64 casillas, entre las blancas y las negras.

Pidió un grano de arroz por la primera casilla, dos por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, y así hasta la última casilla. Como ves, la razón es 2.
¿Cuántos granos correspondieron a la última casilla?

Respuesta: 18.446.744.073.709.600.000 granos (aproximadamente)

Comentario: Parece que pidió poca cosa pero la realidad fue muy distinta.
El número de granos viene dado por 20 cifras. El peso aproximado de semejante cantidad de granos sería 10.000.000.000 toneladas.
Si el planeta tierra todo él sembrado de arroz no llegaría a dar semejante cantidad de arroz en un año.

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