Suma de los Términos de una Progresión Geométrica
Anteriormente en (1) escribimos:
Sumo todos los términos que están a la izquierda del signo =
Sumo también los términos que están a la derecha del signo =
A la derecha del signo = veo que todos los términos contienen como factor a la razón, por lo que saco factor común y dentro del paréntesis aparecen la suma de todos los términos de la progresión geométrica menos el último.
La suma indicada que tienes a la izquierda del signo = representa la suma de todos los términos menos el primero. Podría escribir cuanto tengo a la izquierda del signo = del modo siguiente: 
, es decir, la suma de todos los términos de la progresión menos el primero.
Lo que tienes dentro del paréntesis a la derecha del signo = es la suma de todos los términos menos el último.
La suma anterior podemos escribirla:
En la última igualdad quito paréntesis: 
Los términos que contienen S los paso a la derecha del = y a la izquierda de este signo el término: 
Saco factor común a S: 
Despejo el valor de S y me queda:
La suma de los términos de una progresión geométrica es igual al último término por la razón menos el primero dividido por la razón menos 1.
A veces es mejor usar la fórmula de la suma en función del primer término y de la razón. Para ello sustituyo en la fórmula de la suma el valor de 
Puedo sacar factor común al primer término quedándome:
16.10 En la progresión geométrica 
Total de términos 7
Respuestas:
Solución:
Para calcular la razón dividimos el valor de un término por el del anterior
La progresión con todos los siete términos será:
La suma de todos estos términos:
16.11 En la progresión geométrica 
Respuestas: 
16.12 En una progresión geométrica el primer término vale 1, el segundo 3. …….La suma de todos los términos 29524 ¿Cuántos términos tiene?
Respuesta: 10
Solución:
Conocemos el valor de la suma, la razón y el primer término, aplicando la fórmula de la suma y sustituyendo por sus valores tenemos:
El denominador 2 pasará multiplicando al otro lado del signo =
Descomponiendo 59049 en sus factores primos vemos que equivale a 
Nos queda como última igualdad 
Si las bases de dos potencias son iguales, los exponentes también lo serán, luego, n=10
FÓRMULA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CUANDO LA RAZÓN ES MENOR QUE 1 Y EL NÚMERO DE TÉRMINOS INFINITO.
Si a la fórmula:
le cambiamos el orden en el que hemos colocado los valores del numerador y del denominador no cambia el resultado. 
es lo mismo que 
.
Los valores de S son iguales porque si la razón es mayor que 1, tanto el numerador como el denominador serían negativos, pero el cociente de dos números negativos será positivo.
Si la razón es menor que 1, tanto el numerador como el denominador serían positivos, y el cociente, también.
Observa la operación siguiente: 
la puedo escribir: 
El resulto es el mismo. Para dividir una suma o diferencia indicada por un número, divido a cada término por el denominador o divisor.
Esto quiere decir que: 
la puedo escribir:
No olvides que estamos tratando el caso en que el número de términos es 
(infinito) y la razón es menor que la unidad.
Un número menor que 1 es una fracción de la unidad como 
, etc...
Si 
y elevamos este valor a infinito, tendremos 
Verás que el numerador vale 1 (sin tener en cuenta las indeterminaciones) mientras que el denominador vale infinito. Sería como dividir 1 entre 123456789000000000000000000 y todavía no llegamos a 
.El cociente sería algo así, como:
0,00000000000000000000000000000000000009……….
En realidad, cero.
Luego de la igualdad 
vemos que:
Debido a que 
y este valor por 
el producto también será cero. Y si a 0 le dividimos por cualquier valor que no sea cero podemos afirmar que el cociente también vale cero con lo que la fórmula para el cálculo de la suma de infinitos términos será:
16.13 Calcula la suma de los 100 mil millones de términos de la progresión: 
Respuesta: 
Solución:
Hallamos la razón:
La suma de los infinitos términos será:
16.14 La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica indefinida de razón 
¿Cuánto vale el primer término?
Respuesta: 
