Hipérbola II

Elementos de una hipérbola
Hasta ahora hemos visto los focos y los vértices.

Se llama eje focal la recta donde están situados los focos. También podemos considerarlo como eje principal.

Eje secundario es la mediatriz del eje focal OB.

Radios vectores de un punto de la hipérbola son los segmentos PF y PF’ (siendo P el punto de la hipérbola vistos en figura anterior).

Asíntotas son las dos rectas, en color morado, que pasan por el centro de la hipérbola cuyas ramas se aproximan cada vez más sin llegar a tocarse.

Al ser unas rectas podemos calcular sus ecuaciones utilizando la forma de punto pendiente: 

Como pasan por el origen y la pendiente podemos representar por la tangente, las fórmulas de las asíntotaspodemos escribirlas teniendo en cuenta que en el segundo cuadrante el coseno es negativo:

Relación entre los semiejes de la hipérbola

De la última figura es fácil deducir, por el teorema de Pitágoras, que:

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas
Hemos estudiado que la diferencia de distancias de cualquier punto de una a cada uno de sus focos equivale a2a.
Esto quiere decir que:

Lo podemos comprobar en la figura siguiente:

De la última igualdad vamos a obtener la fórmula de la hipérbola y para ello pasamos el sustraendo a la derecha del signo (=):

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

Después de reducir términos semejantes  elevamos al cuadrado lo encerrado entre paréntesis excepto el radicando:

Reduciendo términos semejantes nos queda:

 simplificamos por 4 y llegamos a             

Elevamos ambos miembros al cuadrado después de dejar al término con la raíz cuadrada a la derecha del (=):

Haciendo operaciones:

Quitando el paréntesis:

Reducimos términos semejantes y hacemos operaciones:

Dejamos a la izquierda del (=) a los términos que contienen incógnitas y sacamos factores comunes:

Sabemos que   por lo tanto, la igualdad anterior podemos escribirla:

Dividimos cada término por   y simplificando llegamos a la ecuación canónica o reducida de la hipérbola:

Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen de coordenadas

Si el centro lo tuviésemos en el punto  la ecuación sería, teniendo en cuenta lo estudiado hasta ahora:

Ecuación general de la hipérbola
Aprovechando cuanto hicimos cuando tratamos la ecuación general de la elipse tendremos:

Haciendo operaciones tenemos:

Ordenamos:

Damos los valores siguientes a:

Sustituyendo en (I) obtenemos:

que es la ecuación general de la hipérbola..

Los coeficientes de   e  tienen signos opuestos mientras que en la elipse tienen el mismo.