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Producto vectorial de dos vectores

Es ahora, al referirnos al producto vectorial, cuando al signo de multiplicar lo representamos con el aspa o cruz de ahí que también llamemos producto cruz.

El producto vectorial de dos vectores produce un vector vector u x vector v perpendicular a los dos vectores.

vectores


En la siguiente figura, el producto vectorial de los dos vectores situados en el plano:vectores y vectores es un nuevo vector vectores.

 

vectores



Este vector vectores o vectores tienes las siguientes características:

Características del vector vectores

Todo vector tiene sus propias particularidades como son: sumódulo, su dirección y su sentido.

Vamos a estudiar el valor del módulo del vector vectores, su dirección y sentido.

Módulo:

En la figura siguiente tenemos un plano donde hemos dibujado los vectores vectores y vectores

 

vectores


El vectores será igual al cateto opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa:

 

vectores

 

Podemos escribir también:

 

vectores

 

de donde vemos que : vectores


Si multiplicamos a los dos miembros de la igualdad por el módulo de vectores tenemos:

 

vectores

 

El producto vectores

equivale a la superficie del paralelogramo OABC:

 

vectores

 

La base es vectores y la altura vectores


También podemos expresar la superficie del paralelogramo OABC con el producto:

vectores

Como hemos dicho que a vectores equivale a:

 

vectores

 

Según vemos en la línea anterior, el módulo del producto vectorial equivale al área del paralelogramo que está definido por los dos vectores:

Superficie del paralelogramo vectores

Vamos a analizar la igualdad: vectores


El valor del módulo vectores depende de los valores de:

 

vectores

 

Esto quiere decir que el valor de vectores aumentará o disminuirá si lo hacen

vectores

que los tenemos en el plano.

Comprobemos:

vectores

 

Disponemos de los datos siguientes:

 

vectores

Aplicando estos valores en vectores


En resumen, vemos que el producto vectorial de dos vectores vectores y vectores es otro vector que escribimos vectores,perpendicular al plano que los contiene cuyo módulo vale vectores.

El vector vectores tiene un módulo que vale:

 

vectores

21.44 Según los datos de la figura siguiente, calcula el valor del módulo del vector vectores:

vectores

Respuesta: vectores

Dirección:

La dirección del vector vectores es la línea perpendicular al plano que contiene los vectores vectoresy vectores.

Sentido:

El sentido de vectores o lo que es lo mismo, hacia dónde señala la punta de flecha de este vector nos lo da el dedo pulgar extendido de la mano derecha, un tirafondo, un sacacorchos,… tal como lo vamos a ver a continuación.

 

vectores

Si tomas el vector vectores con la mano derecha tal como ves en la figura, cerrando los dedos excepto el pulgar que lo mantienes extendido hacia arriba y giras la mano en el sentido inverso a la marcha de las agujas de un reloj, de vectores por el camino más corto el sentido del vector vectores lo señala el pulgar, en este caso hacia arriba o positivo.

Consideramos siempre el movimiento del primer vector hacia el encuentro con el segundo vector recorriendo el menor de los ángulos que forman los dos vectores.

Veamos el ejemplo del tirafondo.

Aplicando la punta del mismo en el punto común de los tres vectores tal como lo tienes en la figura siguiente:

 

vectores

 

Para avanzar el tirafondo harías el mismo giro del que tendrías que hacer para de ir de vectores por el camino más corto.


El movimiento de giro lo haces en sentido contrario de la marcha de las agujas de un reloj.

Exactamente sucede con el sacacorchos, si queremos introducir en el corcho tendremos que girar de modo que el vector vectores llegue al vector vectores por el camino más corto(sentido positivo):

 

vectores

 

¿Qué sucedería cuando el giro lo tenemos que hacer para ir del vector vectores al vectores coincidiendo con la marcha de las agujas de un reloj, el sentido será opuesto (negativo) al estudiado anteriormente.Veamos este caso, teniendo en cuenta la siguiente figura:


vectores

Vemos que para ir del vector vectores al vectorespor el camino más corto, el sentido de giro es contrario al que acabamos de estudiar.

Ahora, el sentido del giro es contrario u opuesto al que estudiamos y coincide con la marcha de las agujas de un reloj.

¿Por qué este cambio de sentido del vector vectores?
Sucede que, ahora, el vector vectores

ocupa un lugar negativo. Lo vemos cuando dibujamos un eje de coordenadas con las 3 dimensiones:

vectores

En color gris tenemos las prolongaciones de cada uno de los ejes referidos a cada una de las coordenadas correspondientes a los valores negativos de cada uno de ellos.

Volviendo a ( I ), para que el vector vectores encuentre al vector vectores

por el camino más corto debe cambiar el sentido de giro.

Ahora, tendrá que ser el opuesto al estudiado anteriormente, es decir, en este caso, coincidirá con el de la marcha de las agujas de un reloj.

Dicho de otro modo, para mantener el sentido de giro: mano derecha, tirafondo, sacacorchos,… debe ir del vector vectores al vector vectores.

En este caso, y recordando que el opuesto de 5 es – 5 podemos escribir vectores cuyo sentido es opuesto al devectoresy si son opuestos establecemos la igualdad:

vectores

Podemos comprobar que no existe la propiedad conmutativa en el producto de vectores, no es lo mismo vectores que vectores son opuestos.

21.45 Calcula el valor del módulo del vector vectoressabiendo que el módulo del vectorvectores, el módulo del vector vectores y el ángulo que forman los dos vectores vectores . Estos datos los tienes en la siguiente figura:

 


vectores

Respuesta: vectores aproximadamente Solución:

 

Sabemos que vectores

 

vectores

 

21.46 Calcula el valor del módulo del vector vectoresde la figura siguiente e indica, dibujando, su sentido:

 

vectores

 

Respuesta: vectores con el sentido que indica la figura siguiente:

 

vectoresvectores

21<.47 Calcula el producto vectorial de los vectores que ves en la figura siguiente siendo vectores

 

vectores

 

Respuesta: vectores aproximadamente el valor de vectores.

 

Por lo que acabamos de estudiar podemos decir que el producto vectorial de dos vectores no tiene propiedad conmutativa porque no es lo mismo vectores que vectorespodemos escribir vectores pero sí podemos afirmar que vectores

 

Recuerda que en el producto vectorial de dos vectores SÍ es preciso saber el orden que multiplicamos los vectores. Cuanto acabamos de decir queda reflejado en las figuras siguientes:

 

vectores

Observamos en (1) que el producto de los vectores

 

vectores

 

En el caso de que el ángulo que formen los vectores vectores y vectores fuese igual a 90º, es decir, si son perpendiculares podemos decir, que: vectores

 


En la figura (II) vemos que el sentido del vector c ha cambiado:


vectores

 

En este caso, al valor del vector c, para distinguirlo del (I), le asignamos el valor negativo.

Debe quedarte claro que, el producto vectorial de dos vectores vectores produce un nuevo vector vectores cuyo módulo equivale al producto de los módulos de vectores por el seno del ángulo que forman éstos.

Su dirección es perpendicular al plano donde se hallan vectores.

 


El sentido de vectores es el que tendría el avance de un tirafondos – con giro a la derecha, contrario a la marcha de las agujas de un reloj – llevando el primer vector vectores sobre el segundo vectores por el camino más corto (el menor de los ángulos).

 

vectores

Según lo estudiado hasta ahora y teniendo en cuenta la figura última podemos decir que:

vectores

¿Qué sucedería en el caso de que el camino más corto fuese ir devectores a vectores siguiendo el sentido de la mano derecha, tirafondo o sacacorchos ?

 

vectores

 

Compruebo que el sentido del giro para ir desde el vector vectores al vector vectores es opuesto al sentido de ir del vectorvectores al vectores,luego:

 

vectores

 

Nota: Podemos prescindir de los paréntesis porque para multiplicar un producto indicado por un número, en este caso, por -1, basta con multiplicar este número por uno de los factores.
21.48¿Es correcta la igualdad vectores ? ¿Por qué? Respuesta:Sí, porque si en la igualdad vectoresmultiplicamos ambos miembros de la misma por el signo menos nos queda
vectores

 

DUDAS Es posible que cuando tengamos que representar un vector o su módulo surjan dudas respecto a la utilización del signo menos. ¿Podemos representar a un vector con el signo menos?

 

Sí y significa el sentido del mismo, contrario u opuesto al de otro vector que tiene el mismo módulo o medida o magnitud, la misma dirección pero su sentido es opuesto por ejemplo:

 

vectores

 

¿Puede ser negativo el módulo de un vector?

No, el módulo es la medida, la longitud o si quieres, la distancia entre dos puntos del vector.

Estos dos puntos son el origen, A y el final, B que los ves en la figura siguiente.

 

vectores

La medida de estos vectores es la misma. La distancia entre Almería y Ávila será la misma que entre Ávila y Almería siempre que hayamos tomado la misma ruta o dirección. Únicamente ha cambiado el sentido.

Por otra parte, al escribir el valor del módulo de un vector entre barras: vectores significa el valor absoluto de cada uno de ellos y sabemos que el valor absoluto de un número es el valor que tiene sin tener en cuenta su signo. Los valores absolutos de vectores y vectores son iguales a 4. ¿Pueden ser negativas las componentes de un módulo? Sí. Puedes comprobarlo en la figura siguiente:

 

vectores

 

En la figura ves al vector vectores El valor correspondiente al eje x es – 5, 3 el correspondiente a al eje y 4 al eje z.

En la figura, en color rojo los valores negativos pertenecientes a cada uno de los ejes. Ves que los tres vectores determinan un volumen. El orden de los ejes los establecemos como mejor nos parezca aunque casi siempre destinamos el vertical para z cuando tratamos las tres dimensiones. Posiblemente hayas pensado que todo esto ya lo sabías y que se trata de una repetición. No te olvides (los romanos lo decían): La repetición es la madre de la sabiduría.

 

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