Soluciones

24.35  Observamos en la ecuación de la recta un vector director:

recta un vector director

Como el plano contiene a la recta, recta un vector directorserá paralelo a este vector director y también contendrá al punto punto.

El punto P(1, 2, 3) y el punto punto se encuentran en el plano de donde podemos calcular el vector vector .

El vector  vector director

Un punto cualquiera del plano tendrá como componentes: componentes

Tenemos los datos suficientes para dar respuesta al enunciado de este problema:

ecuación de la recta un vector director

ecuación de la recta un vector director

ecuación de la recta un vector director

 

24.36  En el ejercicio 24.31 calculamos los planos bisectores:

planos bisectores

Las componentes de las normales son 

El ángulo, llamemos α, entre dos planos nos viene dado por:

planos bisectores

Hubiese bastado con multiplicar, escalarmente, las componentes de los vectores normales (es decir, como lo tenemos en el numerador de la expresión anterior).
Como sabemos que cos 90º  vale 0 significa que los planos bisectores son perpendiculares (EL ARCO CUYO COSENO VALE 0 CORRESPONDE A 90º).

Respuesta: 90º los planos bisectores son perpendiculares.

 

24.37   El vector director de la recta r según los datos que nos proporciona el enunciado del problema son:  El vector director de la recta

 El vector director de la recta

Por otro lado, esas componentes corresponden también a la normal del plano picomponentes

Sabemos que en la ecuación general del plano: ecuación general del plano

Los coeficientes: A, B, C corresponden a las componentes de la normal.
La ecuación del plano, a falta de conocer el valor de D, es:

ecuación general del plano

El punto P(1, 2, 3) corresponde también al plano. Sustituimos en: ecuación general del plano estos valores y hallamos el de D:

ecuación general del plano

La ecuación del plano es: ecuación del plano

 

24.38   Primero resolvemos el sistema y para ello a la variable le damos el valor k porque vamos a calcular la ecuación de la recta en la forma paramétrica.
z = k

forma paramétrica

Calculamos el valor de y sustituyendo los valores conocidos en la 2ª ecuación:

ecuación

Tenemos los parámetros del punto y del vector director:

punto y del vector director

La distancia de un punto a la recta:

La distancia de un punto

viene dada por: La distancia de un punto

El vector vectortiene como componentes:   

componentes

Calculamos el valor del numerador: valor del numerador

valor del numerador

Ahora hallamos el valor  del módulo del numerador:

módulo del numerador

Calculamos el valor del módulo del denominador  módulo del denominador:

 módulo del denominador

La distancia pedida será:

distancia

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