Soluciones

24.32    Resolvemos el sistema: sistema:

Le damos a z el valor cero:              z = 0
                          

Sustituimos este valor en el sistema y hallamos el valor de x:

recta

En la 2ª ecuación sustituimos los valores conocidos y hallamos el valor de y:

2ª ecuación

El punto común P del sistema es: (5,20)

Ahora necesitamos saber el vector director y para ello nos servimos de los vectores normales de las dos ecuaciones que nos vienen dadas por las coeficientes A, B, C de cada ecuación:

vector director

Para saber las componentes del vector director resolvemos:

vector director

Vemos que las componentes del vector director son (8, 1, -6)

La ecuación ecuación en las formas pedidas son:

Vectorial : vectorial

Paramétricas:

Nos servimos de la forma vectorial

paramétricas

Continua:
Nos servimos de las formas paramétricas

paramétricas

 

24.33  Recuerda que para determinar un plano en el espacio se necesitan:  
I.)  - Un punto
      - Dos vectores directores no proporcionales.

II.) Puede suceder que te den 3 puntos (que no estén alineados). Con estos datos ya puedes obtener el plano ya que con tres puntos puedes hallar dos vectores directores (con esos tres puntos) y después,  tomas un punto cualquiera.

III.) Para hallar la ecuación de un plano basta con conocer un punto y una recta contenidas en el mismo porque el plano y la recta tienen el mismo vector director. El segundo vector director lo obtenemos del punto del plano y de la recta.

IV.) Cuando conocemos un punto por donde pasa el plano y un vector normal un vector normal

del mismo, aplicamos la ecuación normal del plano:

un vector normal

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es la ecuación de un plano que pasa por A(1,1,2) y un vector normal del plano es un vector normal

Solución
Pasamos a resolver el problema cuyos datos son:

vector normal

 vector

Nos falta un dato y es el que se refiere a un punto cualquiera del plano que teniendo en cuenta el punto A(2, -1, 2) lo escribimos:

ecuación

Una vez que tenemos los datos el sistema de ecuaciones lo resolvemos por medio del determinante:

ecuaciones

 

24.34  Recordemos que la distancia de un punto a una recta tal como tenemos representada a continuación distancia de un punto


distancia de un punto

la obtenemos a partir de distancia de un punto

A los miembros de esta igualdad multiplicamos vectorialmente por vectorialmentey obtenemos:

vectorialmente

Vemos por la figura anterior que vectorialmentevectorialmenteson paralelas (los valores de x, y, z son proporcionales o iguales. Sus pendientes son iguales) por lo que su producto vectorial vale cero.

Sabemos que el producto vectorial de dos vectores dos vectores cuyas componentes son dos vectores y dos vectores las del vector dos vectores es:

dos vectores

dos vectores

dos vectores

Ves que los valores de las diferencias entre paréntesis son iguales lo que implica que su valor es cero. Cada producto vale cero, luego dos vectores.

Esto significa que la igualdad dos vectores

equivale a dos vectores

Despejamos puntosy obtenemos distancia

Aplicamos al ejercicio:

      

Conocemos el punto exterior P(1, 2, 3) y un punto de la recta con lo que el vector vector tiene como componentes:

 componentes

Las componentes del vector director vectorde la recta  son (2, 1, -2) y vemos que disponemos de todos los datos necesarios para resolver este problema:

 componentes

Calculamos el módulo de

módulo

Calculamos el módulo de módulo

La distancia

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