Planos Bisectores

Recordamos en primer lugar que un ángulo diedro es el que forman dos planos que se cortan. 
En la figura siguiente ves dos planos secantes que forman un ángulo diedro de 133º:

Comentamos la siguiente figura en la que ves dos semiplanos αy γ (los tratamos como semiplanos ya que los hemos “detenido” en la recta r y, por tanto, son una parte) perpendiculares al plano π que son secantes creando la recta r. También tenemos un punto P en el espacio cuyas coordenadas, en el espacio tridimensional son (x, y, z):

Se trata de hallar un plano cuyos puntos equidisten de los semiplanos α y γ, estando el punto P contenido en dicho semiplano que lo denominamos plano bisector que lo vemos en la siguiente figura:

En realidad se trata de averiguar la ecuación del semiplano βsirviéndonos del punto P contenido en el mismo y de los semiplanos α y γ, en una palabra, calcular la dist(P, α) y dist(P, γ) porque si nos fijamos en la figura siguiente la intersección del semiplano β con el plano π es la bisectriz de las otras dos intersecciones.

Tal como se desarrolla este tema parece no ir muy de acuerdo con el título debido a que éste lo tenemos en plural y siempre nos estamos refiriendo al singular, al plano bisector.

En la intersección de dos planos existen dos planos bisectores tal como lo ves en la figura que tienes a continuación:

En color verde los dos planos bisectores γ y δ.

El punto P equidista de las caras del diedro. Sus componentes, como hemos señalado, son (x, y, z).

Observa que cada plano bisector ocupa dos cuadrantes, por ejemplo, el plano bisector δ está situado en los cuadrantes I yIII.

Esto exige que tengamos en cuenta el valor de las componentes en función de los signos de los valores de abscisa y ordenada.
Sabes que los valores de abscisas en el cuadrante I son positivos lo mismo que los valores de ordenadas.

En el cuadrante III los valores de abscisas y ordenadas son negativos.

En el cuadrante II las abscisas son negativas y las ordenadas positivas.

En el cuadrante IV las abscisas son positivas y las ordenadas negativas.
Los signos de los valores de un cuadrante son opuestos a sus correspondientes en el otro cuadrante. 
Esta consideración debes tener a la hora de hallar los planos bisectores, de ahí que calculamos las dos respuestas teniendo en cuenta los signos de las componentes.
Los ángulos entre los planos son de 45º.