Distancia entre rectas que se cruzan

Dos rectas se cruzan cuando cada una de ellas pertenece a planos distintos, y por lo tanto, por mucho que se prolonguen nunca se encuentran.
Debajo tienes dos figuras de rectas que se cruzan.
En la primera, en un espacio tridimensional las rectas en rojo se cruzan, lo mismo sucede con las líneas en color amarillo.

Distancia entre rectas que se cruzan

En la segunda figura, las rectas las tenemos en dos planos paralelos y vemos que la distancia entre ambos planos, corresponde a la perpendicular que une un punto de cada recta.
Sabemos que una recta queda determinada por un punto y un vector director y un por un punto y dos vectores uno de ellos es el paralelo correspondiente a la otra recta.

Tienes debajo las rectas y s (que se cruzan) cuyos vectores directores son vector y vectorrespectivamente y hemos colocado sus paralelas correspondientes en cada punto. Los planos obtenidos los denominamos seno y pi .

área de la base por la altura.

Tenemos un paralelepípedo cuyo volumen es el área de la base por la altura.

Anteriormente estudiamos que la distancia de un punto P a un plano pi es:

un punto P a un plano

La altura (h) equivale a alturaque hemos de multiplicar por el área de la base área de la baseproducto vectorial de los dos vectores lo que corresponde al producto mixto de tres vectores que lo escribimos:

producto mixto de tres vectores

Estudiamos anteriormente que el producto mixto de los vectoresvectorvectorvector lo calculamos hallando el determinante ( vectordeterminantedeterminante) :

determinante

determinante

es decir:

determinante

Distancia entre rectas que se cruzan

24.25  Las rectas: 

Las rectas

se cruzan. ¿Cuál es la distancia entre ellas?

Respuesta: 0,7 u.
Solución
Sea P  un punto de la recta r, comprobamos que vale (1, 3,-1).
Sea Q  un punto de la recta s, comprobamos que vale (0, -1,1).
El vector director de es  cuyas componentes son    (2, 1, -2).
El vector director de es  cuyas componentes son    (-2, 1, 2).

El vector  tiene como componentes:

(0, -1, 1) – (1, 3, - 1) = (0 -1, -1 -3, 1 – (-1) = (-1, -4, 2).

Aplicamos la fórmula:

Las rectas

El cálculo lo hacemos separadamente el numerador del denominador.

numerador:

numerador

denominador: denominador

cuyo módulo vale:  módulo

Sustituyendo valores:

valores

 módulo

24.26   ¿Cuál es la distancia entre las rectas:

distancia entre las rectas

si sabemos que se cruzan?

Respuesta: 0,7 u.

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