Distancia entre dos planos paralelos

Cuando nos referimos a la distancia entre dos planos, éstos han de ser paralelos, porque si son coincidentes o secantes, la distancia es cero.

Recuerda que dos planos son paralelos:
1) Si el rango de la matriz de coeficientes vale 1 y el de la ampliada 2

2) Cuando Distancia entre dos planos paralelos , si A, B, C y A’, B’,C’ son los coeficientes de las variables de cada plano.

3) los coeficientes de las variables son iguales (incluido el signo) que es lo mismo que decir que el sistema es incompatible, que no se puede resolver.

Tienes a continuación los puntos  puntos y puntoscorrespondientes a dos puntos de cada plano paralelo.

Distancia entre dos planos paralelos

La distancia será la perpendicular entre los dos puntos si ambos ocupan los mismos lugares referidos a las variables.

El problema es sencillo de resolver. Basta calcular un punto de un plano y hallar la distancia desde éste al 2º plano.

24.20  Calcula la distancia entre los planos

Distancia entre dos planos paralelos

Respuesta: 1,62 u.
Solución
Primero comprobamos si los planos son paralelos.

Sí lo son porque planos paralelos

En segundo lugar hallamos un punto del plano α y para ello le damos a y y a z el valor 0:

Distancia entre dos planos paralelos

Hemos calculado el punto P(-3,0,0) del primer plano, nos queda hallar la distancia desde este punto al plano π y para ello hacemos uso de la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

Distancia entre dos planos paralelos

24.21  Calcula la distancia entre los planos:

Distancia entre dos planos paralelos

Respuesta: 1,67 u.

24.22  Calcula la distancia entre los planos

Distancia entre dos planos paralelos

Respuesta: 0 u. porque los planos no son paralelos.

 

24.23 ¿Cuál es la ecuación general de un plano que contiene a la recta?:

Distancia entre dos planos paralelos

y es paralelo a la recta:

Distancia entre dos planos paralelos

Respuesta: 6x – 6z + 6 = 0 
Solución
Anteriormente estudiamos que para obtener la ecuación general del plano recurrimos al determinante:

Distancia entre dos planos paralelos

Son las componentes de los tres vectores que necesitamos para hallar la ecuación general del plano.
La 1ª línea del determinante representa a un vector cuyas componentes las calculamos:

Distancia entre dos planos paralelos

Q es un punto cualesquiera del plano y P es un punto concreto determinado por el valor de sus componentes componentes

Siendo O el origen de coordenadas.

La 2ª y 3ª líneas del determinante están formadas por las componentes de los vectores directores vector y vector .

Un plano tiene el mismo vector director del que tiene una recta paralela al mismo.

Sustituimos valores en el determinante y haciendo operaciones paso a paso tenemos:

Distancia entre dos planos paralelos

24.24 En el problema anterior ¿cuál es la distancia entre la recta y el plano que contiene a la recta r ?

Respuesta: 0,7 u.
Solución

Conocemos el plano que contiene a la recta r: que lo llamamos π y su ecuación es ecuación cuya ecuación es:   

ecuación  

Según observamos de los numeradores de la ecuación de la recta s en su forma continua, un punto de la recta es:   (– 1, 1, 1).

Distancia entre dos planos paralelos

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