Distancia entre líneas paralelas. Distancia entre un punto y un plano en el espacio

Distancia entre líneas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas s se reduce a calcular la distancia entre un punto cualquiera de una y la otra recta, es decir, estamos en el caso anterior:

Distancia entre líneas paralelas

 

DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO EN EL ESPACIO

Sabemos que un plano, lo denominaremos pi podemos determinarlo con un punto punto a y dos vectores vectores:

Distancia entre líneas paralelas

Una vez que tenemos el plano con sus elementos esenciales, fijamos el punto en el espacio perpendicular a A:

Distancia entre líneas paralelas

Como la distancia distancia, que lo representamos distanciaes perpendicular al plano, es la distancia más corta entre piP.

Ahora construimos un paralelepípedo o prisma de seis caras con las medidas de  los vectores distancia

paralelepípedo

Sabemos que el volumen de este paralelepípedo es igual a:área de la base por la altura, es decir, área de la base por la alturaque es el área de la base por la distancia PA que la representamos: área de la base por la altura

Sabemos que área de la base por la alturaes igual al vector normal o perpendicular al plano y lo representamos por plano.

El volumen podemos escribirlo: volumen

Vemos que área de la base por la altura

Despejamos la distancia y nos queda la fórmula:

formula

Esta fórmula la podemos escribir también sirviéndonos de la ecuación general del plano:
                            Ax + By + Cz + D = 0 

El vector de la normal tendrá las componentes: vector de la normal

Supongamos un punto del plano: 

un punto en el espacio punto en el espacio

Estos valores los sustituimos en la fórmula que acabamos de hallar:

sustituimos en la fórmula

Multiplicamos escalarmente los factores del numerador:

factores del numerador

Ordenamos el numerador:

Ordenamos el numerador

Al numerador lo reunimos en dos sumandos:

Ordenamos el numerador

Si observas, el primer sumando corresponde a la ecuación de un plano pero le falta el término D.

Si al segundo sumando: sumando le damos el valor debido a que punto es un punto concreto del plano cuya sustitución de los valores de x, y, z  nos daría el término obteniendo la fórmula:

fórmula

Esta fórmula es sumamente sencilla ya que se reduce a sustituir las coordenadas del punto que nos den, en la ecuación general del plano y dividirlo por el módulo de la normal.

24.18  Calcula la distancia del punto P(1, 2, 3) al plano: distancia del pun to

Respuesta: distancia

Solución

distancia

24.19  Halla la distancia del punto P(1, -2, 3) al planoplano

Respuesta: distancia del punto

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