Ángulos de dos rectas que se cortan; Ángulo de dos rectas que se cruzan

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN

Dos rectas que se cortan en un plano determinan 4 ángulos. Los opuestos por el vértice son iguales, por eso decimos, que son iguales dos a dos.
¿Cuál de los dos valores de estos ángulos es el que vale? Por convenio, se determinó que fuese el menor.

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN

El ángulo formado por las rectas de las figura vale 43º.

 

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN


En la figura siguiente tienes que las rectas s se cruzan:

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

Para hallar el ángulo que forman las rectas s no tengo más que trazar en el plano de la base una paralela a la recta r:

ÁNGULO DE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

Nos encontramos en el caso anterior.

 

El ángulo que forman las rectas s es el ángulo que forman sus vectores directores.

Tenemos los vectores directores vectores directores y vectores directores y las rectas r s  : 

ángulo que forman sus vectores directores.

El ángulo que forman las rectas o los vectores directores vale α.

Cuando estudiamos vectores aprendimos que el valor del ángulo que forman dos vectores tiene un valor escalar, nos tiene que dar un valor numérico porque ha de proporcionarnos  un valor real como son los radianes o los grados y lo obteníamos de:          

radianes

Veamos un ejemplo práctico:

 

24.1 Tenemos dos rectas:

 rectas

Como ves, la primera en forma vectorial y la segunda en forma implícita.

Analizamos la primera, y comprobamos que conocemos las componentes del vector director vector (primero de los dos vectores).Necesitamos el segundo vector director vector que lo obtenemos del sistema:

sistema

Lo resolvemos dando a x el valor cero quedándonos:

sistema

Sustituimos este valor de y en la 1ª ecuación:

ecuación

Hemos obtenido un punto:

punto

Ahora le damos a  y el valor cero que realizando operaciones calculamos los valores de x y de z:

 valores

Obtenemos el punto al que llamamos Q:

punto

La distancia distancia será el vector director vector directocuyas componentes como lo hemos venido haciendo hasta ahora las obtenemos de:

vectores

Recuerda que O es el origen de los ejes de coordenadas en el espacio.

El cálculo del vector cálculo del vector lo podíamos haber hecho de otro modo más sencillo partiendo de la forma implícita de la recta s:

recta

Las componentes de las normales son componentescomponentes .). El producto vectorial de ambas nos dan las componentes del vector director, en este caso el valor de vector director:

vector director,

Conocemos las componentes de los vectores directores:

componentes de los vectores directores

En: componentes de los vectores directores

sustituimos por los valores que acabamos de calcular:

componentes de los vectores directores

componentes de los vectores

Puedes hacer uso del Excel u otra Hoja de Cálculo o calculadora. En este caso hacemos uso de la Hoja de Cálculo Excel.

Cálculo Excel.

En la celda D1 tenemos el resultado del cociente y en E1 hallamos el ACOS de dicho valor, es decir, a que ángulo o cual es el ARCO cuyo COSENO es -0,2264 radianes que para pasar a grados multiplicamos por 180 y lo dividimos por pi.

Como el cociente nos ha dado un número de radianes con valor negativo, significa que nos encontramos en el II cuadrante donde el coseno tiene valor negativo por eso obtenemos un ángulo de 103º que equivale al ángulo de 180º – 103º = 77º.

El valor del   cos 77º que se encuentra en el II cuadrante lo escribimos en valores absolutos en la figura (el seno es positivo en los cuadrantes I y II).

En la figura siguiente tienes representado gráficamente cuanto acabas de leer: 

radianes

Si desde el principio utilizamos el valor absoluto evitamos algunos inconvenientes.

Tomamos la fórmula para saber el valor del ángulo y en el numerador, para evitar signos negativos escribimos el valor absoluto del mismo:

valor del ángulo

Sustituyendo valores tenemos:

valor del ángulo

valor del ángulo

Volvemos a usar el Excel para saber a cuántos grados equivale el resultado que acabamos de hallar:

Excel

Vemos que el resultado es el señalado anteriormente.


                                                                                   
24.2  Las rectas vienen determinadas por la intersección de dos planos respectivamente:

rectas

¿Cuánto vale el ángulo que forman estas dos rectas?

Respuesta: 67º aproximadamente


Solución
El ángulo que forman estas dos rectas vale lo mismo que el formado por sus vectores directores. 
El vector de dirección de r  viene dado por el valor de la perpendicular a los vectores normales de los dos planos y lo calculamos por el producto vectorial de dichas normales:

rectas

Hacemos lo mismo con la recta s:

rectas

rectas

rectas

excel rectas

Vemos que corresponde a 67º aproximadamente.

 

24. 3   ¿Cuál es el ángulo que forman las rectas:

rectas?

Respuesta: 41º aproximadamente.

 

24.4  Calcula el ángulo formado por las rectas:

rectas

Respuesta: 18º (redondeando)

 

24.5  Calcula el ángulo formado por las rectas:

rectas

 

Respuesta: 18º (redondeando)

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