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Curso gratis de Inecuaciones - Inecuaciones

En el capítulo anterior hemos tratado de igualdades y de ecuaciones.
A veces, en lugar de aparecer o de tener que utilizar un signo igual (=) nos vemos obligados a usar otros signos llamados de desigualdad: > (mayor que), < (menor que), (distinto que).

Ejemplos de desigualdades:

Esta última es muy poco usada.

12.1 Un padre tiene 42 años y su hija 12. Escribe la desigualdad de ambas edades:

Respuesta: 42>12 ó 12<42

OPERACIONES CON DESIGUALDADES:
a) Una desigualdad no cambia de signo si a los dos miembros, les sumo
7+1 > 5
Si a los dos miembros de la desigualdad les sumo 4, el signo de dicha desigualdad seguirá siendo el mismo:
7+1+4>5+4
12>8
b) Tampoco cambia el signo de la desigualdad si a ambos miembros les resto el mismo número.
Resto 4 a los términos de la desigualdad:
7+1 – 4> 5 – 4
4>1
c) Si les multiplico por el mismo número positivo tampoco varía el signo de la desigualdad:
Multiplico por 2:
2(7+1)>2 x 5
16>10
Si les multiplico por el mismo número negativo a los dos miembros de una desigualdad, ésta cambia de signo:

14 < 32
Multiplico por – 2:
- 28 > - 64
Lee con atención:
Sabes que los números se representan, los positivos, a la derecha del cero y a la izquierda los negativos.

inecuaciones

Los números positivos cuanto más se alejen del cero se hacen más grandes:
6>4, 7> 3,…….
A los números negativos les sucede lo contrario, cuanto más se acerquen a cero valen más:
- 6 < -4, - 7 < -3
d) Si los divido por el mismo número positivo tampoco varía el signo de la desigualdad:
Divido por 2:
(7+1)/2>5/2
4>2,5
e) Si a ambos miembros los elevo a una potencia positiva mayor que la unidad el signo de la desigualdad no cambia:

inecuaciones

f) Si en ambos miembros de la desigualdad hallo la raíz cuadrada, cúbica, etc., tampoco cambia el signo de la desigualdad:

Inecuaciones

12.2 ¿Es correcta la desigualdad inecuaciones?
Respuesta: No

Solución:
Los números negativos son mayores, cuanto menor sea su valor absoluto (el valor del número sin tener en cuenta su signo).
inecuaciones

12.3 Tienes la desigualdad: inecuaciones si a los dos miembros de la desigualdad los elevas al cuadrado ¿cambia el signo de la desigualdad?

Respuesta: No

Solución:

Si a los dos miembros de inecuaciones los elevo al cuadrado me quedará: inecuaciones la novena parte de un pan siempre será mayor que su vigésima quinta parte.

12.4 Si a los dos términos de la desigualdad inecuaciones los elevo a – 2 ¿cambiará el signo de la desigualdad?

Respuesta:

Solución:
Sabemos que si a un número lo elevamos a un exponente negativo es como si elevásemos el inverso de dicho número a este exponente pero positivo:

inecuaciones

inecuaciones

En el caso del problema tendría:

inecuaciones

Compruebo que 4<49 y el signo de la desigualdad ha variado.

¿A QUÉ LLAMAMOS INECUACIÓN?


Una desigualdad en la que aparezca una incógnita la llamamos INECUACIÓN.
Al igual que en una ecuación, debemos despejar la incógnita y para ello:


1) Generalmente, los términos con incógnita se dejan a la izquierda del signo de desigualdad y los términos independientes (sin incógnita) a la derecha.


2) Cuando un término pasa de un miembro a otro, lo hace con el signo cambiado (igual que con las ecuaciones).


3) Una vez colocados los términos en el lugar correspondiente, se reducen los semejantes si los hay.


4) El número o coeficiente que acompaña o multiplica a la variable o incógnita lo pasamos dividiendo a la derecha del signo de desigualdad.


5) Si el coeficiente que pasa a la derecha dividiendo es positivo, el signo de la desigualdad no cambia de sentido, pero si el coeficiente es negativo el signo de la desigualdad cambia de sentido.

Ejemplo:
inecuaciones


Si el exponente de la incógnita es 1 decimos que se trata de una inecuación de primer grado.

En el ejemplo, puedes pasar los términos sin incógnita al otro miembro de la desigualdad (como lo hacías con las ecuaciones pasando al otro lado del signo igual):

inecuaciones

Respuesta: Todos los valores de x que sean mayores que 3, es decir: 4, 5, 6, 7, …… hasta infinito inecuaciones hacen posible la desigualdad: inecuaciones

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